La Elasticidad de la demanda.

O como un llanero pasa trabajo con la economía.

Definición 1. Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeñas variaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de ellos que tienen demanda elástica. Los bienes que, por el contrario, son poco sensibles al precio son los de demanda inelástica o rígida. En éstos pueden producirse grandes variaciones en los precios sin que los consumidores varíen las cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria.

Definición 2. La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando su precio varía en un uno por ciento. Si el resultado de la operación es mayor que uno, la demanda de ese bien es elástica; si el resultado está entre cero y uno, su demanda es inelástica.

Generalmente , cantidad demandada se representa por la variable Q, y el precio por la variable P. Existe una relación entre Q y P que se expresa como una función, siendo Q la variable independiente y P la variable dependiente. Podemos representar geométricamente esta relación mediante una gráfica en el plano. la variable Q se representa sobre el eje de las x y la variable P sobre el eje de las Y. La curva de la demanda es una función decreciente ( a mayor cantidad de bienes, menor es el precio).

¿Cómo se expresa la elasticidad usando las variables P y Q?

La elasticidad la denotaremos por E _d, es el cociente entre el porcentaje de variación de Q entre el porcentaje de variación de P. Esto es

E _d =    (D Q ) Q /  (D P) P

Usando diferenciales tenemos que D P =     D Q  (d  P / d Q). Luego nos queda.

 E _d =  (d  P / d Q) ^-1 ( Q/ P).

Ahora bien, resulta que los economistas enredan un poquito la matemática y no explican bien el origen de las cosas. Por eso siempre se equivocan en sus pronósticos. Esto hace que el amigo Carlos Pérez de San Juan de los Morros se desespere con los cálculos. Por el teorema de la función inversa para las derivadas se tiene la relación entre las pendientes

( d P/ d Q) ( d Q / d P) = -1.

Luego

( d P / d Q ) ^-1 = - ( d Q / d P)

Ahora bien, en razón  del mismo teorema de la función inversa, debemos invertir las cantidades P y Q. Luego

E _d = - ( d Q / d P) ( P / Q)

 y esta es la fórmula que usaremos de ahora en adelante. Nótese que   ( d Q / d P)  representa el valor de la pendiente en el punto de coordenadas ( Q, P).

En el caso particular en que la relación entre precio y cantidad de demanda sea lineal, se tiene una fórmula especial, que deduciremos a continuación ( creo que esto responderá tu pregunta Carlos).

Supongamos que la cantidad de bienes demandados tenga ecuación

Q = b - ( b/a) P,

donde a y b son números reales ( constantes). Veamos entonces la gráfica.

Utilicemos ahora un poquito de geometría euclideana de tercer año de bachillerato, para deducir algunas relaciones. En primer lugar obsérvese que los triángulos  D P a C y  D Q C b son semejantes. En efecto, ambos son rectángulos y además tienen un ángulo agudo igual. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Tales, sobre semejanza de triángulos, para deducir:

Q C / C b = (a - P) / a C.

Pero Q C = P. De donde 

P / ( a -P) = b C / a C.

Para poder calcular la elasticidad, necesitamos la pendiente  ( d Q / d P) . Cómo la ecuación es una recta, la pendiente es constante e igual a - b/a.

Por lo tanto la elasticidad viene dada por:

 E _d = b/ a ( P / Q)  = b/ a ( P / ( b - ( b/a) P)).

Ahora hacemos algunos cálculos sencillos para simplificar la expresión de arriba.

b/ a ( P / ( b - ( b/a) P)) = P / a -P.

Por lo tanto

 E _d =  P / a -P = b C / a C.

Podemos entonces expresar esta relación en palabras diciendo. " Para calcular la elasticidad de la demanda ( Lineal) en un punto ( Q. P), se divide la longitud del segmento desde el punto hacia abajo, entre la longitud del segmento desde el punto hacia arriba, sobre la recta de la gráfica"