Matemáticas árabes: ¿sabiduría olvidada?

Las más recientes investigaciones dibujan un nuevo retrato de nuestra deuda con los matemáticos árabes e islámicos. Muchas de las ideas que antes creíamos procedentes de los matemáticos europeos de los siglos XVI, XVII y XVIII ahora sabemos que fueron desarrolladas por matemáticos árabes e islámicos casi cuatrocientos años antes. En muchos ámbitos las matemáticas actuales están mucho más cerca a estas contribuciones del mundo islámico que a las que nos legaron los griegos.

Tenemos la idea extendida de que tras el brillante período en el que los griegos colocaron los puntales de las matemáticas modernas, hubo una era de estancamiento antes de que los europeos tomaran el relevo de los helenos a comienzos del siglo XVI. La percepción común del período de 1000 años entre los antiguos griegos y el renacimiento europeo es que sucedió muy poco en el ámbito matemático excepto por las traducciones al árabe de textos griegos para preservar sus conocimientos y para que éstos estuvieran accesibles a los europeos a comienzos del siglo XVI.

No resulta sorprendente. Muchos importantes historiadores de las matemáticas han contribuido a esta percepción, bien omitiendo mencionar las matemáticas de los árabes en el desarrollo de la materia o con afirmaciones como la de Duhem en [3]:

... la ciencia árabe tan sólo reprodujo las enseñanzas recibidas de los griegos.

Antes de seguir adelante merece la pena hacer un intento por definir el período que cubre este texto y proporcionar una descripción general para cubrir a los matemáticos que hicieron esas contribuciones. El período que cubrimos es sencillo de describir: va desde el final del siglo VIII hasta mediados del XV. Proporcionar una descripción que comprenda a los matemáticos es mucho más difícil. Los trabajos [6] y [17] tratan sobre 'matemáticas islámicas', similar a [1] que usa el nombre 'contribuciones musulmanas a las matemáticas'. Otros autores intentan la descripción 'matemáticas árabes', por ejemplo [10] y [11]. Sin embargo, no todos los matemáticos que nos gustaría incluir son musulmanes; algunos eran judíos, otros cristianos, algunos tenían otras creencias. Y tampoco eran todos árabes, pero para nuestra conveniencia llamaremos este artículo 'matemáticas árabes'.

La región de la que venían los matemáticos árabes estaba centrada en Irán/Irak pero varió con las conquistas militares durante la época. Esta zona se extendió al oeste a través de Turquía y el norte de África para incluir la mayor parte de España, y al este hasta las fronteras de China.

No conocemos bien el trasfondo de los desarrollos matemáticos que comenzó en Bagdad alrededor del año 800. Hubo importantes influencias procedentes de los matemáticos indios cuyo primer desarrollo del sistema decimal y numeral fue importante. Más tarde comenzó un interesante período de progreso matemático con el trabajo al-Khwarizmi y las traducciones de los textos griegos.

Este período comienza en el año 786 bajo el reinado del califa Harun al-Rashid, quinto califa de la dinastía de los Abásides. Promovió la enseñanza y las primeras traducciones de textos griegos al árabe, como los Elementos de Euclides por al-Hajjaj, se hicieron durante el reinado de al-Rashid. El siguiente califa, al-Ma'mun, promovió el aprendizaje incluso con más fuerza que su padre al-Rashid, estableció la Casa de la Sabiduría en Bagdad que se convirtió en centro de traducciones e investigación. Al-Kindi (nacido en el 801) y los tres hermanos Banu Musa trabajaron en este lugar, al igual que el famoso traductor Hunayn ibn Ishaq.

Debemos enfatizar que las traducciones al árabe de esta época fueron hechas por científicos y matemáticos de la categoría de los que hemos citado, no por expertos en el lenguaje pero ignorantes en cuestiones matemáticas, y la necesidad de esas traducciones fue impulsada por la avanzada investigación de la época. Debemos destacar que estas traducciones no se hicieron por puro placer, sino como parte del esfuerzo investigador. Los más importantes textos griegos traducidos están listados en [17]:

De los trabajos de Euclides se tradujeron, Los Elementos, Los Datos, La Óptica, Los Fenómenos y Sobre Divisiones. De las obras de Arquímedes sólo se conocen dos traducciones - Esfera y Cilindro y Medida del Círculo -, pero fue suficiente para estimular las investigaciones independientes que tuvieron lugar entre los siglos IX al XV. Por otra parte se tradujeron virtualmente todos los trabajos de Apolonio, tan sólo un libro de Diofanto y otro de Menelao, la Aritmética del primero y Esférica del segundo. Por último, la traducción del Almagesto de Ptolomeo proporcionó un importante material astronómico.

Los textos matemáticos griegos menores que se tradujeron están también en [17]:

... el Tratado sobre los espejos de Diocles, Esféricos de Teodosio, el trabajo de Papo sobre la mecánica, el Planisferio de Ptolomeo, y los tratados de Hipsiclo sobre los poliedros regulares (los también llamados Libros XIV y XV de los Elementos de Euclides) ...

Quizás uno de los más significativos avances de la matemática árabe comenzó en esta época con el trabajo de al-Khwarizmi, considerado los comienzos del álgebra. Es muy importante comprender la trascendencia de esta nueva idea. Fue un avance revolucionario sobre el concepto griego de las matemáticas que era básicamente geometrico.

El álgebra fue una teoría unificadora que permitió a los números racionales, irracionales, magnitudes geométricas, etc., ser tratados como 'objetos algebraicos'. Dio a las matemáticas un nuevo camino mucho más amplio en concepto que el anterior, y les proporcionó un vehículo para futuros desarrollos. Otro importante aspecto que produjo la introducción del álgebra fue que permitió a las matemáticas aplicarse en un modo que antes no existía. Como Rashed escribe en [11] (ver también [10]):

Los sucesores de al-Khwarizmi emprendieron una aplicación sistemática de la aritmética al álgebra, del álgebra a la aritmética, de ambas a la trigonometría, del álgebra a la teoría euclidiana de números, del álgebra a la geometría, y de la geometría al álgebra. Así surgieron el álgebra polinómica, el análisis combinatorio, el análisis numérico, la solución numérica a las ecuaciones, la nueva teoría elemental de números y la construcción geométrica de ecuaciones.

Sigamos por un momento el desarrollo del álgebra y miremos a los sucesores de al-Khwarizmi. El trabajo de al-Mahani (nacido en 820) es cuarenta años posterior al de al-Khwarizmi, este autor concibió la idea de reducir problemas geométricos como la duplicación del cubo a problemas de álgebra. Abu Kamil (nacido en 850) forma un importante eslabón del desarrollo del álgebra entre al-Khwarizmiy al-Karaji. A pesar de no usar símbolos, escribiendo las potencias de x en palabras, comenzó a entender lo que nosotros escribimos ahora en símbolos como xⁿ×x^m = x^m+n. Hay que remarcar que los símbolos no aparecieron en la matemática árabe hasta mucho más tarde. Ibn al-Banna y al-Qalasadi usaron símbolos en el siglo XV y, aunque no conocemos cuándo comenzaron a emplearse, sabemos que se usaron al menos un siglo con anterioridad a la época de estos matemáticos.

Al-Karaji (nacido en 953) es visto por muchos como el primero en liberar por completo el álgebra de las operaciones geométricas y reemplazarlas con el tipo de operaciones aritméticas que son hoy el corazón del álgebra. Fue el primero en definir los monomios x, x², x³, ... y 1/x, 1/x², 1/x³, ... y en dar reglas para el producto de cualquier par de ellos. Inició una escuela de álgebra que se mantuvo durante cientos de años. Al-Samawal, unos 200 años más tarde, fue un miembro muy importante de la escuela de al-Karaji. Al-Samawal (nacido en 1130) fue el primero en dar al nuevo tópico de álgebra una descripción precisa cuando escribió que estaba ocupado con:

... con operaciones en lo desconocido utilizando las herramientas aritméticas, del mismo modo que los aritméticos operan en lo conocido.

Omar Khayyam (nacido en 1048) proporcionó una completa clasificación de las ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas encontradas mediante la intersección de secciones cónicas. Khayyam también escribió que esperaba poder dar una descripción completa de la solución algebraica a las ecuaciones cúbicas en un trabajo posterior [18]:

Si surge la oportunidad y tengo éxito, proporcionaré estas catorce fórmulas con todas sus ramificaciones y casuística, y cómo distinguir entre lo posible y lo imposible, para poder publicar un documento con elementos muy útiles para este arte.

Sharaf al-Din al-Tusi (nacido en 1135), aunque casi de la misma época de al-Samawal, no sigue el desarrollo general de la escuela de álgebra al-Karaji sino que sigue la aplicación del álgebra a la geometría de Khayyam. Escribió un tratado sobre las ecuaciones cúbicas, en el que [11]:

... representa una contribución esencial a otra álgebra dirigida al estudio de las curvas mediante ecuaciones, inaugurando así los albores de la geometría algebraica.

Veamos otros ejemplos del desarrollo de las matemáticas árabes. Volviendo a la Casa de la Sabiduría de Bagdad en el siglo IX, los hermanos Banu Musa educaron allí al matemático Thabit ibn Qurra (nacido en 836). Contribuyó enormemente a las matemáticas, pero consideremos por el momento sus contribuciones a la teoría de números¹. Descubrió un hermoso teorema que permitió encontrar pares de números amigables, es decir, dos números tales que cada uno resulta de la división exacta del otro. Al-Baghdadi (nacido en 980) buscó una ligera variante del teorema de Thabit ibn Qurra, mientras que al-Haytham (nacido en 965) parece haber sido el primero en intentar la clasificación de todos los números pares perfectos (números iguales a la suma de sus divisores exactos) como los de la fórmula 2^k-1(2^k - 1) donde 2^k - 1 es primo.

Al-Haytham, fue también el primero en exponer el teorema de Wilson, que dice que si p es primo, entonces 1+(p -1)! es divisible por p. No está claro si supo o no demostrar el resultado. Se llama teorema de Wilson por un comentario hecho por Waring en 1770 que había anunciado que John Wilson había notado el resultado. No hay evidencia de que John Wilson supiera demostrarlo y desde luego Warning no lo hizo. Lagrange proporcionó la primera prueba en 1771 y debería saberse que pasaron más de 750 años desde al-Haytham antes de que la teoría de números sobrepasase este logro de las matemáticas árabes.

Siguiendo con la historia de los números amigables, de la que nos hemos desviado, merece la pena destacar que jugaron un importante papel en las matemáticas árabes. Al-Farisi (nacido en 1.260) demostró el teorema de Thabit ibn Qurra introduciendo nuevas e importantes ideas relacionadas con la factorización y los métodos combinatorios. También obtuvo un par de números amigables 17.296, 18.416 que han sido atribuidos a Euler aunque sabemos que eran conocidos antes de al-Farisi, quizás incluso por el propio Thabit ibn Qurra. Aunque alejado de las matemáticas árabes de este artículo, merece la pena notar que en el siglo XVII el matemático árabe Mohammed Baqir Yazdi obtuvo un par de números amigables 9.363.584 y 9.437.056 muchos años antes de la contribución de Euler.

Vayamos a los distintos sistemas de conteo que se usaban alrededor del siglo X en los países árabes. Había tres tipos diferentes de aritmética en ese período y, hacia el final de siglo, autores como al-Baghdadi escribieron textos comparando los tres sistemas.

1. Aritmética de reconocimiento con dedos.
Este sistema procedía del 'contar con los dedos' y sus numerales estaban escritos en letras; este tipo de aritmética era el empleado por la comunidad de los negocios. Matemáticos como Abu'l-Wafa (nacido en 940) escribieron varios tratados empleando este sistema. El propio Abu'l-Wafa era experto en el uso de los numerales indios pero estos:

... no tuvieron aplicación durante largo tiempo en los círculos de negocios y entre la población del Califato Oriental.

Por lo tanto escribió su texto usando aritmética de reconocimiento de dedos ya que éste era el sistema utilizado por la comunidad de los negocios.

2. Sistema sexagesimal
El segundo de los tres sistema era el sexagesimal, con numerales indicados por letras del alfabeto árabe. Era originario de los babilonios y fue utilizado principalmente por los matemáticos árabes para sus trabajos astronómicos.

3. Sistema numeral indio
El tercer sistema era la aritmética de los numerales indios y fracciones con el sistema de de colocación de valores decimales. Los números empleados procedían de la India aunque no eran un conjunto estándar. Distintas partes del mundo árabe utilizaba ligeras diferencias en los números. Al principio los métodos indios eran usados por los árabes en una pizarra de polvo. Se necesitaba una pizarra de polvo porque los métodos requerían escribir y borrar números a medida que las operaciones de cálculo iban teniendo lugar. Una pizarra de polvo permitía hacer esto al igual que hoy en día usamos una pizarra, tiza y un borrador. Sin embargo, al-Uqlidisi (nacido en 920) demostró cómo modificar el método para poder usar lápiz y papel. Al-Baghdadi también contribuyó a mejorar el sistema decimal.

Fue este tercer sistema de cálculo el que permitió la mayor parte de los avances en los métodos numéricos de los árabes. Permitió la extracción de raíces por matemáticos como Abu'l-Wafa y Omar Khayyam (nacido en 1048). El descubrimiento del teorema del binomio para exponentes integrales por al-Karaji (nacido en 953) fue un factor muy importante en el desarrollo del análisis numérico basado en el sistema decimal. Al-Kashi (nacido en 1380) contribuyó al desarrollo de las fracciones decimales no sólo aproximando los números algebraicos, sino también para números reales como π. Su contribución a las fracciones decimales fue tan grande que durante muchos años fue incluso considerado su inventor. Aunque no lo fuera, al-Kashi proporcionó un algoritmo para el cálculo de raíces enésimas, lo que es un caso especial de los métodos proporcionados muchos siglos después por Ruffini y Horner.

Además del trabajo de los matemáticos árabes en álgebra, teoría de números y sistemas numéricos, hicieron considerables contribuciones a la geometría, trigonometría y a las matemáticas astronómicas. Ibrahim ibn Sinan (nacido en 908), que introdujo un método de integración más general que el de Arquímedes, y al-Quhi (nacido en 940) fueron líderes en el campo de la reedición y continuación de la geometría superior griega en el mundo islámico. Estos matemáticos, y en particular al-Haytham, estudiaron óptica e investigaron las propiedades ópticas de los espejos sacados de secciones cónicas². Omar Khayyam combinó el empleo de la trigonometría y la teoría de aproximación para proporcionar métodos para resolver ecuaciones algebraicas por medios geométricos.

La astronomía, la medida del tiempo y la geografía, proporcionaron otras motivaciones para la investigación geométrica y trigonométrica. Por ejemplo, Ibrahim ibn Sinan y su abuelo Thabit ibn Qurra estudiaron las curvas requeridas en la construcción de relojes solares. Abu'l-Wafa y Abu Nasr Mansur aplicaron geometría esférica a la astronomía y utilizaron fórmulas que incluían senos y tangentes. Al-Biruni (nacido en 973) utilizó la fórmula de los senos tanto en astronomía como para calcular la longitud y latitud de muchas ciudades. La astronomía y la geografía motivaron los extensivos estudios de al-Biruni de proyección de un hemisferio sobre un plano.

Thabit ibn Qurra emprendió trabajos teóricos y observacionales en astronomía. Al-Battani (nacido en 850) hizo exactas observaciones que le permitieron mejorar los datos de Ptolomeo sobre el Sol y la Luna. Nasir al-Din al-Tusi (nacido en 1201), como muchos otros matemáticos árabes, basó su astronomía teórica en el trabajo de Ptolomeo pero al-Tusi fue el que más desarrolló el modelo ptolemaico del sistema planetario hasta el descubrimiento del modelo heliocéntrico por Copérnico

Muchos de los matemáticos árabes crearon tablas de funciones trigonométricas como parte de sus estudios de astronomía. Estos incluyen a Ulugh Beg (nacido en 1393) y a al-Kashi. También fue una especialidad árabe la construcción de instrumentos astronómicos como el astrolabio. Al-Mahani usó un astrolabio mientras que Ahmed (nacido en 835), al-Khazin (nacido en 900), Ibrahim ibn Sinan, al-Quhi, Abu Nasr Mansur (nacido en 965), al-Biruni y otros, escribieron importantes tratados sobre el astrolabio. Sharaf al-Din al-Tusi (nacido en 1201) inventó el astrolabio lineal. La importancia de los matemáticos árabes en el desarrollo del astrolabio está descrita en [17]:

El astrolabio, cuya teoría matemática se basa en la proyección estereográfica de la esfera, se inventó en la antigüedad, pero su extensivo desarrollo en el Islam lo convirtió en un reloj de pulsera para el medievo. En su forma original necesitaba un plato diferente de coordenadas de horizonte para cada latitud, pero en el siglo XI el astrónomo musulmán español al-Zarqallu inventó un único plato que funcionaba para todas las latitudes. Un poco antes, astrónomos orientales habían experimentado con proyecciones planas de la esfera, y al-Biruni inventó una proyección que podía usarse para producir un mapa de un hemisferio. La pieza culminante fue el astrolabio del sirio Ibn ash-Shatir (1305-75), una herramienta matemática que podía ser usada para resolver todos los problemas estándar de la astronomía esférica en cinco formas diferentes.

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Glosario

1. La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.
    
2. Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse intersectando un plano y un cono (de doble lado).

Bibliografía

1. A A al'Daffa, The Muslim contribution to mathematics (London, 1978).
    
3. P Duhem, Le système du monde (Paris, 1965).
    
6. E S Kennedy et al., Studies in the Islamic Exact Sciences (1983).
    
10. R Rashed, Entre arithmétique et algèbre: Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes (Paris, 1984).
     
11. R Rashed, The development of Arabic mathematics : between arithmetic and algebra (London, 1994).
     
17. J L Berggren, Mathematics in medieval Islam, Encyclopaedia Britannica.
     
18. R Rashed, L'extraction de la racine n-ième et l'invention des fractions décimales (XIe - XIIe siècles), Arch. History Exact Sci. 18 (3) (1977/78), 191-243.

Más referencias bibliográficas (21 libros/artículos)