COMPLEJOS



LOS NÚMEROS IMAGINARIOS
 
 

Existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, por ejemplo 

x2 + 5 = 0

no tiene solución en R ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -5. Para solucionar problemas en los que aparezcan raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C, de manera que R sea un subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de las operaciones y todos los números tengan raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.

Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da -1


 
 

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
 
 

Una expresión de la forma a+bi en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo.

a+bi es la forma binómica del número complejo; a es la parte real y b es la parte imaginaria.

 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
 
 

Antes que nada, consideremos un Sistema de Coordenadas Cartesiano en donde se tienen dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen. El eje de abscisas que recibe el nombre de eje real  y

el eje de ordenadas que recibe el nombre de eje imaginario

Cada complejo z = a+bi se representa por un vector con origen en el origen de coordenadas 0= (0,0)  y extremo en el punto P(a, b).

a se representa sobre el eje real.

b se representa sobre el eje imagibnario.

Si b=0, el complejo a+bi se identifica con el número real a.

Si a=0, el número complejo a+bi tiene sólo parte imaginaria, recibe el nombre de imaginario puro.

Si a=0 y b=0, el complejo a+bi es el complejo 0.

En la siguiente actividad interactiva, puedes ubicar un número complejo en cualquier parte del plano. Coloca el cursor sobre el punto rojo y muévelo. Observa como cambian las componentes reales e imaginarias. Verás que es divertido. Si no sucede nada en tu computador entonces debes descargar el programa Java de Sun en Internet el cual es completamente gratuito. Si todavía no hay movimiento debes permitir a tu navegador de Internet usar controles Activex.
 

 

OPUESTO Y CONJUGADO DE UN COMPLEJO.


  Si se tiene un número complejo  Z = a + bi, entonces

su opuesto es -Z = -a -bi y

su conjugado es Z = a -bi.

En la aplicación de abajo se tienen los tres números en el plano. Practica, juega, observa y analiza todo con cuidado.


 

 
 

 

SUMA Y PRODUCTO DE COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
 
 

Si Z1 = a + bi y Z2 = c + di  son dos números complejos, entonces

su suma es:  Z1+ Z2 =(a + bi)+(c + di)= (a+c)+(b+d)i

su producto es:Z1 · Z2=(a + bi)·(c + di)= (ac-bd)+(bc+ad)i

La diferencia Z1- Z2= =(a + bi)+(-c - di) = (a-c)+(b-d)i
 
 

INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO. COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS.
 
 
Si Z = a+ bi siendo z ‡ 0, su inverso es:

1/ Z  = a /( a2 + b2) - b /( a2 + b2) i   ,

se comprueba fácilmente que el producto de ambos es 1.

Si Z1 = a + bi y Z2 = c + di,  son dos números complejos, siendo Z2 ‡ 0,

su cociente es:

Z1 / Z2 = (ac+bd)/( a2 + b2) + (bc-ad) /( a2 + b2)

En la aplicación de abajo se visualizan las tres operaciones dadas arriba.