I.Conceptos básicos

1. En el espacio vectorial R³ , el producto interno, o producto escalar,  entre dos vectores u = ( x ₁, y ₁, z₁ )  y  v = ( x ₂, y ₂, z₂ )  se define como

< u , v > =  x ₁x _{2 +} y ₁ y _{2 +} z₁  z_2.

Demuestra que este producto interno satisface las propiedades

a) < u + w, v > = < u, v> + <w, v>

b) Si a es un escalar entonces:  < a u, v> = a < u, v>

c) < u, v > = < v, u>

d) Para todo vector u se tiene < u, u> ≥ 0 y  < u, u> = 0, sí y sólo si u = 0.

2. Sean los vectores u = ( -1, 8, 3) , v = ( 4, -4, 3 ) y w = ( 5, -1, -2 ) . Calcula los siguientes productos:

a) < 2u, v - 3 w>

b) < w + u - 4v, 2w>

c) < 0, w>

d) < 3v , 0>

e) < u + w, u + w>.

3. La norma de un vector v = ( x, y, z ), de R³ , se define como

|| v || = (< v, v >) ^1/2 = ( x ² + y ² + z ² + ) ^1/2 .

Demuestre que la norma satisface las propiedades siguientes

a) Para todo vector v, se tiene || v || ≥ 0. y || v || = 0  sí y sólo si v = 0.

b) Para todo escalar a ,  || a v ||= |a | || v ||.

c) Desigualdad de Cauchy - Schwartz: Si u y v son dos vectores, entonces

< u, v >   ≤ || u ||. || v ||

d) Desigualdad del triangulo. Si u y v son dos vectores entonces

|| u + v || ≤ || u || + || v ||

1) Determine el lugar geométrico de todos los vectores  v de R³, que satisfacen  || v || = 1.

2) Halle un vector u en R⁴ , paralelo al vector v = ( 2, 0, -3, 1 ) con norma igual a 3.

II. Angulo entre vectores - Ortogonalidad.

Para hallar el ángulo entre dos vectores usamos la formula fundamental:

< u, v >   =  || u ||. || v || cos q,

donde q  es el ángulo entre los vectores, medido en sentido positivo.

1. Halle el ángulo entre los vectores

v = ( 3, -5, 2 ) y w = ( 2, -1, 0 ).

Halle un vector unitario perpendicular a ambos

2. Sean los vectores u = ( 2, -1, -3 ), w = ( 1, -1, 4 ) y v = ( 6, -4, 3 ) . Calcule lo siguiente:

a)  < u, v>

b) < u + 3 v, w - 5 v>

c)  || u + 4 w ||.

d) el ángulo entre u y w.

e) Un vector de norma igual a 4 y perpendicular a u y v.

3. Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector v = ( -4, 3, 1) y que pasa por el punto p = ( 2, 3, 1).

4. En R⁴ , halla una base para el complemento ortogonal  del vector v = ( 1, 2, -1, 5 ).

5. En  R⁴ , sea S = { ( -4, 0, 1, 3) , ( -2, 0, 0, -1 ) , ( 3, 3, 0, 5) } . Halle una base para el complemento ortogonal de S.

6. Sea  w = ( 1, -2, 3, 1 ) un vector de R⁴ , hallar una base ortogonal de w^{^} .

Producto escalar de funciones.

1. Sea C [ a, b] el espacio vectorial de las funciones continuas reales definidas en [ a, b]. Entonces el siguiente es una producto interno ( Verificarlo)

2. En C [ -p , p ] , Probar que la funciones  f( t ) = sen t y g( t) = cos t son ortogonales, con el producto escalar dado arriba.

3. Demuestre las identidades trigonométricas:

cos A cos B = 1/2  { cos ( A -B) + cos ( A + B) }

sen A sen B =1/2  { cos ( A -B) - cos ( A + B) }

sen A cos B = 1/2  { sen  ( A -B) + sen ( A + B) }.

4. Demuestre que el conjunto de funciones

S = { 1, cos t, cos 2t,......, sen t, sen 2t, ....}

es un conjunto ortogonal en C [ -p , p ] .

Bases Ortogonales.

Sea V espacio vectorial de dimensión n. Sea B = {  v₁ , v₂ , ....,v _n } una base de V. Entonces los vectores

w ₁  = v₁.

w ₂ =  v₂  - (<v_{2  ,}w ₁ > / <  w _{1 ,}  w ₁ >)  w ₁    .

w _n =  v _n    -  c ₁w ₁ - c ₂w ₂ - ....c _n-1w _n-1 ,

donde los c _i  son los coeficientes de Fourier, dados por

c _i  =  <v_{n  ,}w _i > / <  w _{i ,}  w _i >

Forman una base ortogonal de V.

1) Ortogonalizar la base de R³    B = { ( -2, 0, 1 ), ( 3,1,1 ), ( 2, -1, 0 ) }.

2) En el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ 2, definidos en [ - 1, 1 ]. sea la base B = { 1, x, x ²}: hallar una base ortonormal a partir de esta base.

3) Demuestre que en R⁴ , los vectores u = ( 1, 1,  1, 1 ) y  v = ( -2 , 2, 1, -1 ) son ortogonales. Completar esta base con un par de vectores, hasta formar una base ortogonal de  R⁴ .

4) Halle la proyección del vector v = ( 5, -5, 4 ) sobre los vectores u = ( 1, 7, 3 ) y w = ( -3, 3, 1 ).