¿Qué es una variedad lineal?
 

 

Sea v = ( v1  , v2 , .... , v n) un vector de  R n . Un Hiperplano Perpendicular a v , es el conjunto de puntos de Rn , que son ortogonales a v. Usamos la notación

H = { x  ∈  R  /  < x, v > = 0 }

Usando las coordenadas de los puntos y la definición del producto escalar, se tiene:

< x, v > = x1  v1 + x2  v2 + ····+ x n  v n = 0

Nota: Todo hiperplano de R n  es un subespacio vectorial de dimensión n-1. Se puede probar también que todo subespacio de dimensión n-1 es igual a un hiperplano.

Geométricamente, se puede interpretar a un hiperplano de R3. como a un plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al vector v.

 

 

 

 

 

 

 

Una variedad lineal de R n de dimensión n-1,  denotada por V, es cualquier trasladado de un hiperplano, mediante un vector A fijo . Tenemos entonces

V = H + A

Los elementos de V son de la forma x = h + A , donde h es un vector del hiperplano. Si A ¹  0 entonces la variedad lineal no contiene al origen de coordenadas. En el caso de R , tenemos la siguiente representación geométrica de una variedad lineal :

 

 

Llamada rectangular: Hola: Soy una variedad lineal de dimensión n-1

 

 

 

 

Si escribimos al vector de traslación A, mediante sus coordenadas A = ( a 1, a2 , ..., a n ) tenemos entonces la ecuación cartesiana de la variedad lineal:

x1  v1 + x2  v2 + ····+ x n  v n = b  

donde  ( x 1,   x2 ,    ..., x  n     ) = x  es un punto de la variedad y b es un número real igual a la sumatoria 

 b  = a1  v1 + a2  v2 + ····+ a n  v n

En efecto, si x es un punto de variedad lineal, se tiene que el vector  x - A pertenece al hiperplano y por lo tanto el producto escalar de x - a con v debe ser igual a cero. Luego

< x - A, v > = (x1 - a1 ) v1 + (x2 - a2 ) v2 + ····+ (x n  - a n) v n = 0

 Claramente, de esta última ecuación se deduce la ecuación cartesiana de la variedad lineal.

Recíprocamente,  si tenemos una ecuación azul del tipo.

x1  v1 + x2  v2 + ····+ x n  v n = b  

hacemos A = ( b / || v ||2  ) v,  y entonces se tiene que la ecuación representa una variedad lineal V = A + H, pues

<( x- A ), v > = < x, v > - < A , v > =  b -  <  ( b / || v ||2  ) v, v >

=  b - ( b / || v ||2  ) <  v, v > =  b - b =  0,

usando propiedades del producto escalar.