Adherencia. Subconjuntos densos.

 

Sea I =  (2, 3) ∪ (3, 4)∪ ( 4, 5) ∪(5, 6)  un conjunto de  números reales. sabemos que los puntos  2, 3, 4, 5 y 6  no pertenece a este conjunto. Sin embargo están  muy cerca, bastante pegados a I. En verdad están en la frontera de I. ¿ Cómo podríamos describir esta propiedad de una manera más formal ? Sabemos por nuestra intuición que 2 esta adherido a I y que si nos movemos un poco hacia la derecha de 2, nos encontraremos dentro de I.

Sea A es un subconjunto no vacío de un espacio métrico ( M, d). Un punto a de M se llama punto de adherencia de A, si para cualquier abierto U que contiene a a, se tiene

U ∩ A ¹ Æ

Ejemplo1: Es claro, que todos los puntos del conjunto A, son puntos de adherencia.

Ejemplo2. Si x es un punto del espacio métrico ( M, d) , tal que d( x, A) = 0, entonces x es punto de adherencia de A.

 

 

El conjunto de todos los puntos de adherencia de A se denota por A y se llama la adherencia o la clausura de A.

Observa la animación siguiente. El conjunto A formado el cuadrado amarillo y su borde de color rojo ha perdido algunos puntos de clausura

 

Claramente, la clausura de A contiene al conjunto A, pues todo punto de A es a su vez un punto de adherencia. Las siguientes propiedades de la clausura se dejarán como ejercicio para el lector:

Propiedades de la clausura

  1. A Í A , para todo conjunto A.

  2. Si A Í B , entonces A Í B .

  3. A =  int (A) ∪δ (A).

  4. Si F es cerrado y F contiene a A, entonces  A Í F  

 Si I = (a, b) es cualquier intervalo abierto de números reales, entonces su clausura es el cerrado I = [a, b]. Esto se puede deducir de la propiedad 3) para las clausuras. También se puede demostrar que todo intervalo cerrado F = [c, d] de números reales es igual a su clausura.

Una pregunta muy pertinente en toda esta discusión es la siguiente:

¿Cuál es la clausura de los números racionales ℚ dentro de R?

Sabemos que todo número real x, se puede aproximar, tanto como se quiera por números racionales. Esto es parte de los conocimientos básicos del análisis I.  Entonces para cualquier abierto U que contenga a x, siempre podremos encontrar números racionales r, tal que r esté dentro de U. Esto nos dice que x es un punto de adherencia para el conjunto de todos los racionales. En definitiva, hemos demostrado que todo número real es parte del a clausura de ℚ , y por lo tanto:  la clausura de  ℚ son todos los números reales!

ℚ = R.

ESte ejemplo nos motiva a dar la definición siguiente:

 

Un conjunto A dentro de un espacio métrico M, se llama conjunto denso si A = M.

! Advertencia

Todos los conceptos y definiciones dados en esta sección, son relativos y dependen de la métrica del espacio.

Por ejemplo, si consideramos a  ℚ,como un espacio métrico en sí mismo, con la métrica inducida por la de R, entonces tendremos que

ℚ =  ℚ

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