La curva que estudiaremos es una curva simple, cerrada y que rellena todo el plano. Fue estudiada por el matemático polaco Sierpinsky ( 1882- 1969) en 1912 y con toda justicia lleva su nombre.

Simple quiere decir que no se corta en ninguna parte. ( la figura del ocho no es simple). Lo de cerrada, no tiene nada que ver con conjuntos cerrados, solo significa que el punto inicial de la curva, el punto del plano donde comienza el recorrido, es igual al punto final.

Un curva en el plano, desde el punto de vista formal, es una función  f : I ——→     R² , donde I = [ a, b] es un intervalo cerrado de números reales. La curva es simple si f es inyectiva. La curva es cerrada, si f( a) = f( b). Un tal función f se llama una parametrización de la curva. Una curva puede tener diferentes parametrizaciones. Diremos que una curva rellena todo el plano, o un cuadrado, si su imagen es densa en el plano ( o cuadrado), con la topología usual del plano.

A menudo, lo que llamamos curva es simplemente su imagen f( I) en el plano.

Muchas curvas, como la de Sierpinsky, no se dan explícitamente en forma paramétrica, si no por medio de un proceso de limite, haciendo iteraciones paso a paso. Es como la representación decimal  de los números irracionales, ( pensemos en  p = 3,1415...... ) en donde el número se aproxima tanto como se quiera por medio de números racionales. Sabemos que todo número irracional tiene una representación decimal infinita no periódica, mientras que los números racionales tienen representaciones finitas o infinitas periódicas. La Curva de Sierspinky es de longitud infinita, pero nos iremos aproximando a ella, mediante curvas de longitud finita, que irán creciendo más y más en cada paso.

Las curvas que vamos a ir construyendo van ocupando todo el espacio del cuadrado blanco. Veamos en una secuencia de 6 pasos, como se va generando esta curva maravillosa de Sierpinsky.

Paso 1. Dibujamos un cuadrado regular centrado en el origen . Todos los lados iguales. Esta será la primera curva ( en rojo)	Paso 2. Dibujamos un octógono regular con el mismo centro. Esta será las segunda curva.
Paso3. Ahora dividimos el plano en cuatro cuadrados iguales. En el centro de cada uno de ellos dibujamos un cuadrado regular. Al conectar estos cuatro cuadrados tendremos la tercera curva ( en rojo)	Paso4. Dibujamos cuatro octógonos regulares con el mismo centro y los conectamos.
Paso5. Cada uno de los cuadrados anteriores, se subdivide a su vez en cuatro. Sobre cada uno de estos 16 cuadrados dibujamos un cuadrado. Conectamos cada uno de ellos.	Paso6. Usando los mismos centros, dibujamos 16 octágonos regulares. Conectamos.....
El proceso se repite al infinito. Lo importante es que tenemos un método interactivo que nos permite seguir hacia adelante.

Problemas

1. ¿Cuantos octógonos nos encontramos en el paso 10?
2. Si l( n) es la longitud de la n- ésima curva ¿Cuál es la longitud de l ( n +1)?
3. Halla una fórmula para calcular la longitud l (n) en función de n.
4. Si P = (x,y) es un punto cualquiera sobre el cuadrado blanco ¿ Cuantos pasos debemos dar para que la curva pase a una distancia menor que 0,001 del punto P?
5. ¿Cuántos pasos debes dar para que la curva corte a la bola abierta B( P, r)?
6. Si la pregunta anterior tiene respuesta afirmativa entonces esto prueba que todo punto del plano blanco pertenece a la clausura de la curva. ¿ Que significa esto?

Para mayor información consultar el sitio web:

Courbe de Sierpinski

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