-¡Qué curioso  ! ¡ Qué magnífico!- exclamó Alicia- ¡Ahora me estoy alargando como si fuera el telescopio mas largo del mundo!

Me imagino que en ese cuento, Alicia crecía de una manera continua y la altura era proporcional, en todo momento, al cuadrado del tiempo. ¿Cómo es esto? Pues muy fácil de explicar. En el primer segundo aumentó 1 metro. En el segundo 2, 4 metros, en el tercero 9 metros... y así sucesivamente. Su crecimiento era continuo, pero no uniformemente continuo, pues dependía de cada instante. Alicia puede hacer la siguiente pregunta ¿ Cuanto tiempo debe transcurrir para que mi estatura aumente en un ε ? La respuesta dependerá del tiempo!

Sean M y N dos espacios métricos, Diremos que una función f :M ———→ N es continua uniforme

( o uniformemente continua) , si para cada  ε > 0, existe un  δ > 0, tal que

d( f( x), f( y)) < ε ,

si d (x ,y) < δ.

Observación: El concepto de continuidad en un punto es un concepto local, esto es, dado un epsilon, el valor del delta elegido depende de epsilon y además del punto en el espacio métrico.

Es posible que dicho delta no funcione para otro punto. Esto se puede ilustrar muy bien con el estudio de la función real f( x) = x ², la cual es continua en todo su dominio. Podemos tomar un punto a de la recta y entonces veremos como se comporta la función cerca de a. Nos interesa acotar la variación de las imágenes por un número pequeño ε .

| f( a) - f( y) | < ε ,         (*)

¿Cómo hay que elegir un δ , para garantizar que se tiene la desigualdad de arriba, suponiendo que

 |  a-  y | < δ ?

Tenemos que comenzar por explotar la desigualdad (*)

|  a² -   y² | = | a - y |  |   a + y  | < ε ,         (**)

Pero , si tomamos δ < 1 se tendrá

|   a + y  | ≤ |   a  | + |  y  | < 2 |   a  | + 1

Por lo tanto, para que se cumpla la desigualdad (**), debe ser δ =  min { 1,  ε / ( 2 |   a  | + 1)}, es decir, el valor de δ depende tanto de ε, como del punto a.

Es claro que toda función uniformemente continua es continua. El reciproco no es cierto.

Observación: En la definición de continuidad uniforme, el valor de δ > 0, solo depende de la elección de ε , y no del punto x.

Ejemplo 1: La función f : R ———→ R, dada por f( x) = 5 x, es continua uniforme, pues para cualquier ε > 0, basta tomar δ = ε / 5, y entonces se cumple que

| f (x) - f (y) | = | 5 x - 5y | = | 5 (x - y) | < 5 δ = ε

si  | x - y | <  δ .

Ejemplo 2: La función g : R \ {0}———→ R, dada por g( x) = 5 / x, es continua, pero no es continua uniforme, pues a medida que nos acercamos hacia cero, la función crece demasiado y entonces hay que tomar el δ cada vez más pequeño.

El primer resultado sobre funciones de variable real uniformemente continuas es el siguiente

Para demostrar este hecho, tomemos ε  = 1 . Entonces existe δ > 0, tal que 

 Seguidamente, dividimos el conjunto I, mediante una partición de  n puntos a _i, tal que el conjunto I, queda dentro de n + 1. subintervalos, cada uno de ellos de longitud menor que δ. Probaremos que el diámetro del conjunto de las imágenes  f( I) es menor que n. Sean f( x) y f( y) dos puntos cualquiera en f( I) . Luego sea k en número de puntos de la partición que hay entre x e y. Se tiene entonces que  k ≤ n, y además

Luego el supremo de de todos estos valores , d( f (x), f (y))  es menor que n y por lo tanto diam ( f (I))  < n.

Ejemplo: Como una aplicación de este resultado, se tiene que la función 

no puede ser continua uniforme, pues el intervalo  (0, 1] es un un conjunto acotado y sin embargo, la imagen del mismo no es acotada.

Demostración: Sea  ε > 0 , dado . Tomamos n puntos en J ,

tales que ellos dividen a J en n +1 subintervalos de tamaño menor que  ε / 2.

Por otro lado, como la función f es sobreyectiva, existen n puntos en X

tales que f ( x _i ) =  y _i  , para 1 ≤ i ≤ n.  Sea  δ  = min { |   x _{i +1} -  x _i   | }

Sean ahora x e y , dos puntos de X, tales que |   x  - y   | <  δ. Entonces, probaremos que | f (x) - f (y) |  <  ε En efecto, o bien x e y están en un mismo subintervalo, o bien hay uno de los puntos de la partición, digamos  x _i, de por medio. 

En el primer caso se tiene que  y _i < f( x) < f ( y) < y _{i +1}   , y por lo tanto

 | f (x) - f (y) |  ≤ |  y _{i +1} -  y _i  |  <  ε / 2 <  ε ..

En el segundo caso tendremos que f( x) <  y _i <  f ( y) ≤ y _{i +1  ,}  y por lo tanto

| f (x) - f (y) |  ≤ |  f( x)  -  y _i  |  + |   y _i  - f( y) | <  ε / 2  + ε / 2 <  ε .

Esto demuestra que la función es continua uniforme.

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