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Ejercicios del Tema 1.
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y llegarás lejos....... |
- Sean X y Y conjuntos cualesquiera y f : X —→ Y una función. Probar que para A y B subconjuntos de X se tiene.
a) f ( A È B ) = f (A) È f( B)
b) f ( A Ç B ) Í f (A) Ç f( B)
2. Sea f la misma función del ejercicio anterior. Sean además C y D subconjuntos de Y. Probar
a) f -1( C È D ) = f -1(C) È f -1(D).
b) f -1( C Ç D ) = f -1(C) Ç f -1(D).
c) A Í f -1( f (A)) . ¿ Qué condición debe cumplir f para garantizar la igualdad?
c) D = f (f -1( D)).
3. Probar las leyes de De Morgan para pares de conjuntos
a) X \ (A È B) = (X \ A) Ç ( X \ B) .
b) X \ (A Ç B) = (X \ A ) È (X \ B ).
Generalice estas leyes para uniones e intersecciones infinitas. De las demostraciones correspondientes.
4. Si f es una función inyectiva, f : X ——→ Y, entonces f ( X \ A ) = Y \ f (A).
5. Si f es sobreyectiva entonces f -1( Y \ D) = X \ f -1( D)
6. Sea X un conjunto, a un elemento de X y d la métrica discreta sobre X. Determine los siguientes subconjuntos de X
B( x, o) , B (x, 3) , S( x, 1), D( x, ½ ) , B( x, ½ ).
7. Demuestre que R con la distancia dada por el valor absoluto ( d (x, y) = | x -y | ) es un espacio métrico.
8. Demuestre que que R2 con la métrica euclideana es un espacio métrico.
9. Demuestre que todo conjunto acotado está contenido dentro de una bola abierta.
10. Pruebe que toda bola abierta es un conjunto acotado.
11. Sea A un conjunto acotado de números reales, y c un número real tal que x ≤ c, para todo x en A. Probar que Sup A ≤ c.
12. Si A y B son conjuntos acotados en un espacio métrico, probar que A È B es acotado, y además
diámetro ( A È B ) ≤ diámetro ( A ) + diámetro ( B ) + d (A, B).
13. Sea B( R, R) el espacio de las funciones reales acotadas con la métrica del supremo. Haga un gráfico de la bola abierta B ( sen x, 3) ¿ Será cierto que B ( sen x, 3 ) = D( sen x , 3) ?
14 Sea H el circulo de centro en el origen y radio 4. consideremos el espacio métrico inducido ( H, d) donde d es la métrica euclideana en R2 . Hacer un gráfico de B ( ( 1,1), 4) en este espacio.
15.Demuestre que en el espacio métrico de los números Racionales Q, con la métrica usual de R, no hay puntos aislados.
16. Demuestre que todo espacio métrico finito es discreto.
17. Demuestre que el diámetro de una bola abierta con centro en a y radio r es 2r.
18 Demuestre que R2, con la distancia del producto
d 2((x, y), ( z, u) ) = max {| z - x | , | u -y | }. Es un espacio métrico.
19. Si en R2, consideramos la distancia dada por
d 1((x, y), ( z, u) ) = | z - x | + | u -y | . Demuestre que se tiene un espacio métrico.