En los ejercicios siguientes supondremos, cuando se hable de conjuntos, A, B, C, etc..la inclusión de todos ellos dentro de un espacio métrico M.

1. Probar que A es un subconjunto abierto sí y sólo si A es la unión de bolas abiertas de M.
2. Probar que toda bola abierta es un conjunto acotado. ¿ Cual es su frontera?
3. Probar que el diámetro de un conjunto A es igual al diámetro de su clausura A.
4. Demuestre que la unión e intersección de un número finito de conjuntos cerrados es un cerrado.
5. Demuestre que el conjunto de los números enteros  ℤ, es cerrado en R.
6. Sea el conjunto de números reales  S = { 1 / n , tal que n  ≥1 }. Probar que S no es cerrado en R. ¿Cuál es su clausura?
7. Demuestre que todo punto aislado de un conjunto A, pertenece a la frontera.
8. ¿Será cierto que la frontera de A ∪ B es igual a la frontera de A unida a la frontera de B?.Dé un contraejemplo.
9. ¿Será cierto que la frontera de A ∩ B es igual a la frontera de A intersecada con  la frontera de B?.Dé un contraejemplo.

10. Demuestre la relación para un espacio métrico M y un conjunto A cualquiera:                                     M = int (A) ∪  frontera (A)∪  ext (A)

11. Demuestre que la unión e intersección de un número finito de conjuntos acotados es acotado.

12. Demuestre que todo punto aislado de un conjunto A , pertenece a la frontera.

13. Probar que todo número real x, pertenece a la clausura de los números racionales. Ayuda: Si x es un número real, existe una sucesión de números racionales {r _n } tal que  r _n   —→ x, cuando n tiende a infinito.

14. Demuestre que el conjunto de los números irracionales I, es un conjunto denso en R.

15. Demuestre que en un espacio métrico discreto todo conjunto es abierto y cerrado.

16. Si A es cualquier conjunto, probar que la clausura de A es igual a A.

17. Un conjunto A se dice separable, si posee un subconjunto denso, el cual es numerable. Pruebe que el conjunto Q x Q es denso en R² y por lo tanto concluya que  R² es separable.

18. Demuestre que A es el menor conjunto cerrado que contiene a A.

19. En n espacio métrico ( X, d), hallar la clausura de la bola abierta B (a, r).

20. Sea ( M, d) un espacio métrico y A  Í M Probar que B es cerrado en A ( con la métrica inducida) sí y sólo si existe un cerrado F en M, tal que B = A ∩ F.

21. Si A es cerrado en (M,d) y y supongamos que x es un punto cualquiera del espacio M, tal que d( x, A) = 0 . ¿Que se puede decir de x?

22. ¿ Que propiedad de tipo topológico tienen los conjuntos finitos en un espacio métrico?

23. Demuestre que en un espacio métrico M, dos métricas equivalentes definen la misma topología.

24. Demuestre que en R² , las métricas                                                                       d (X, Y) = max { | x ₁ - x |₂ , | y₁ - y |₂ } y d' ( X, Y) =   | x ₁ - x |₂ + | y₁ - y |₂          son equivalentes.

25. Demuestre que las métricas anteriores son equivalente a la métrica de Euclides en el plano.

26. Probar  que en todo espacio de Hausdorff, el conjunto {a}, formado por un sólo punto es un cerrado.

27. Probar que si X es un conjunto finito y τ es una topología sobre X, tal que ( X, τ  ) es un espacio de Hausdorff, entonces τ es la topología discreta.