En todos los ejercicios, ( M, d) denotará un espacio métrico

1. Sea  { x _n } una sucesión  en M. Pruebe que  x _n —→  x ₀ , si y sólo si para cada abierto U de M, conteniendo a  x ₀  , existe un entero N tal que  x _n Î U   si n > N.
2. Sea  { x _n } una sucesión  en M , tal que el conjunto de los valores {  x₁  ,....,   x _n  ,...} es finito. Pruebe que  la sucesión { x _n }posee una subsucesión constante.
3. Probar que toda subsucesión de una sucesión de Cauchy es de Cauchy.
4. Probar que toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente y además converge al mismo límite.
5. Una sucesión de números reales { x _n }se dice monótona creciente  si los términos de la misma están ordenados de manera creciente, esto es,  x ₁ <  x ₂  <.....< x _n < .... Pruebe que toda sucesión monótona creciente ( o decreciente ) acotada es convergente.

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