1.  Probar que todo espacio métrico discreto, finito es compacto.
2. Probar que el intervalo abierto ( 0, 1) en R no es compacto.
3. Probar que la unión de dos conjuntos compactos es compacto.
4. Sean X e Y espacios métricos compactos. Probar que el espacio métrico producto  X x Y es compacto.
5.  Sean A, K, subconjuntos no vacíos y disjuntos de un espacio métrico X. Si A es cerrado y K es compacto, pruebe que d ( A, K) > 0. Dé un ejemplo de subconjuntos cerrados y disjuntos, A y B tales que d ( A, B) = 0.
6. Sean A y B subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico X. Pruebe que existe a ∈ A y b  ∈ B, tales que d ( A, B ) = d ( a, b).
7. Demuestre que  A es precompacto sí y sólo si para cada  ε > 0, existe un conjunto finito de puntos de A, denotado por  S_ε = { a₁ , ....., a _n } tal que

   A Ô  D (  a₁ ,  ε) ∪ ....∪ D (  a _n ,  ε),

   donde D ( a _i ,  ε) denota el disco cerrado de centro en   a _i  , y radio ε .

8. Demuestre que todo conjunto precompacto es acotado.

9. Demuestre que todo conjunto compacto es precompacto.

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