4.2 Espacios métricos completos

 
 
 

 

Un espacio métrico M se dice completo, si toda sucesión de Cauchy es convergente.

Los  ejemplos más conocidos de  espacios completo, son los espacios R con la métrica usual , y R n, con la métrica del producto. La demostración de esto la haremos en varios pasos.

Paso 1. En R, todo conjunto infinito y acotado posee un punto de acumulación.

Demostración: Sea A un conjunto infinito y acotado de números reales. Podemos suponer que A está dentro de un intervalo I0 ,  cuyos extremos llamaremos por a 0, extremo inferior y b0 , extremo superior. Podemos dividir a I0  , en dos mitades y en una de ellas encontraremos infinitos puntos de A, llamemos a esta mitad I1 ,  y tomemos un punto dentro de él el cual llamaremos  x 1. El intervalo  I1, tiene a 1, extremo inferior y b1 , extremo superior. Dividamos ahora a   I1, en dos mitades y nuevamente habrá infinitos elementos de A en una de las mitades, la cual denotaremos por  I2 . Tomamos un punto en este conjunto y lo denotamos por x 2 .  El intervalo  I2, tiene a 2, extremo inferior y b2 , extremo superior. Continuando de ésta manera, tenemos tres sucesiones { x n  } , { a n } y { b n  }, con las siguientes  características:

1) La sucesión  { a n } es monótona creciente y acotada, luego converge a un límite a.

2) La sucesión  { b n  } es monótona decreciente y acotada, luego converge a un valor límite b.

3) la sucesión { x n  } está comprendida entre ambas, es decir, para todo n ≥ 1 , se tiene  a n  ≤  x n   ≤  b n   .

Demostraremos que a = b. En efecto, sea k la longitud del intervalo  I1 , entonces es fácil probar que la longitud del n -ésimo  intervalo  In  , es igual  (1/2)n  k.  Luego, para todo n tendremos que  ( b n  - a n  ) es igual a (1/2)n  k .

Luego, dado un  ε > 0, existe un N, tal que

 

| a - b | = | (a  -  a n)  +   (a n   -  b n  ) + ( b n  -   b)  | ≤  | (a  -  a n) | +   |(a n   -  b n  ) | + | ( b n  -   b)  | 

                                                                                    ≤ ε / 3 +    ε / 3 +     ε / 3 = ε .

para todo n ≥ N.

Esto demuestra que a = b.

Usando el lema del sándwich para las sucesiones, se concluye que  { x n  }  , es convergente y además converge al punto común x = a = b.

Luego concluimos que x es un punto de acumulación de A y con esto termina la prueba.

Paso 2. En R, toda sucesión de Cauchy posee una subsucesión convergente.

Claramente, si { x n  } es una sucesión de Cauchy, entonces el conjunto de los valores es un conjunto acotado. Entonces pueden ocurrir dos cosas:

a) El conjunto de los valores de la sucesión es un conjunto finito de puntos. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que el conjunto de valores de la sucesión es igual a  B = { y1 , .... y k  }, entonces debe haber una subsucesión constante dentro de  { x n  },   cuyos valores son todos iguales a  y j , para algún  1 ≤ j ≤ k. Es claro que dicha sucesión es convergente.

b) El conjunto de los valores es un conjunto infinito. En este caso, usamos el paso 1, para concluir que existe un punto de acumulación de la sucesión. Luego hay una subsucesión de { x n }, que converge.

Paso3. Si  { x n  } es una sucesión de Cauchy de números reales, la cual posee una subsucesión convergente a x, entonces la sucesión original { x n  } es convergente a x.

Supóngase que  { x n (k)  } es un a subsucesión de  { x n  } , la cual converge a x. Entonces, dado un ε > 0 , debe existir un N, tal que

 

| x n  -  x | ≤  | x n  -  x n (k)     | +  |  x n (k)  -   x | ≤   ε / 2 +     ε / 2 = ε .

para todo n y k mayores que N.

Hemos demostrado, a través de los pasos 1 2 y 3  el siguiente teorema

Teorema : R es un espacio métrico completo.

En R, ningún intervalo abierto de la forma I = ( a, b) es completo. La sucesión  x n  = a + 1 / n es de Cauchy, converge al punto a, pero a no está en I. Luego I no es completo.

 

z Nota. El concepto de espacio completo o completitud no es un concepto topológico. Es posible que dos espacios topológicos sean homeomorfos, uno de ellos sea completo y el otro no lo sea, como en el siguiente ejemplo.

La función tangente  Tg : ( - π / 2 , π / 2  ) ———→ R es un homeomorfismo. Sin embargo R es completo, pero el intervalo    ( - π / 2 , π / 2  ) no lo es.

 

 

Teorema R2 es completo con la métrica del producto.

Sea x n  = (  a n, b n) una sucesión de Cauchy . Entonces si tomamos ε > 0, existe un N, tal que

 

d ( x n ,  x m )  = Sup { | a n  -   a m  | ,  | b n  -   b m  | } <  ε

 si n , m  ≥ N

Entonces las sucesiones {  a n    } y { b n} son sucesiones de Cauchy de números reales y por lo tanto convergentes. Luego existen un par números reales a y b, tales que a es límite de de la sucesión {  a n    } , y b es límite de la sucesión { b n}. Luego  ( a, b) es límite de la sucesión  { x n } y por lo tanto es convergente.  Esto demuestra que  R2 es completo con la métrica del producto.

Teorema : Si A es un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo (M, d) entonces el espacio métrico inducido ( A, d A ) es un espacio completo.

Esto es fácil de probar, pues si { x n } es una sucesión de Cauchy en A , con respecto a la métrica inducida d A ,  entonces ella es una sucesión de Cauchy en M, con respecto a la métrica d. Se puede concluir entonces , usando la completitud de M,  que la sucesión converge en M a un punto x en M. Luego el punto x es un punto de acumulación de A. Como A es un conjunto cerrado, se debe tener que x está en A, y así A es completo.

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