Propiedad 1. Sea X un espacio métrico compacto. Entonces X es acotado. La demostración se hará siguiendo el método de reducción al absurdo. En efecto, si X no fuese acotado, existe un a en X, tal que X no está contenido dentro de la bola cerrada B [ a, n ] , para ningún n número natural n. Podemos entonces construir una sucesión en X, de la siguiente forma: para cada n, sea x n , en X, tal que d ( a, x n ) > n. Como X es compacto, dicha sucesión posee una subsucesión convergente, la cual denotaremos por { x φ(n) } . Sea x el límite de dicha sucesión. Luego se debe tener que d ( x φ(n) , a) converge a d ( x, a). ¿ Por qué? Por otro lado, tendremos que d ( x φ(n) , a) > φ (n) ≥ n. para todo n, lo cual es una contradicción. Luego, X debe ser acotado. Propiedad 2. Sea X un espacio métrico compacto. Entonces X es cerrado. Sea { x n } una sucesión de elementos de X que converge a un punto a. Probaremos que a pertenece a X. Como X es compacto, la sucesión dada posee una subsucesión convergente a un elemento y en X. Pero toda subsucesión convergente, converge al mismo límite de la sucesión original. Luego y = a y por lo tanto a está en X, con lo cual concluimos que X es cerrado. Propiedad 3. Si X es compacto y F es un subconjunto cerrado de X, entonces F es compacto. Sea { x n } una sucesión de elementos de F. Como F está dentro de X y X es compacto, la sucesión posee una subsucesión convergente a un elemento x en X . Pero este x es un punto de acumulación de F. Como F es cerrado x está en F. Luego hay una subsucesión de { x n } que converge a x en F. Esto demuestra que F es cerrado. Propiedad 4. Si X es un espacio métrico compacto, entonces X es completo. Sea { x n } una sucesión de Cauchy elementos de X. Como X es compacto se tiene que X es acotado. Dicha sucesión, al encontrarse dentro de un conjunto acotado, es ella misma acotada y por lo tanto posee una subsucesión { x φ(n) } convergente a un elemento x en X. Listo!
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