Problemario 2 (Parte I)

Prof. W. Barreto

Noviembre 2, 2007

1. Demostrar que para el movimiento uniformemente acelerado las siguientes dos ecuaciones son equivalentes:
   
   $$\overrightarrow r(t) = \overrightarrow r_0 + \frac{1}{2}(\overrightarrow v_0 + \overrightarrow v) (t - t_0),$$
   
   
   
   
   $$\overrightarrow r(t) = \overrightarrow r_0 + \overrightarrow v(t - t_0)-\frac{1}{2}\overrightarrow a (t-t_0)^2.$$
   
   

2. Para el movimiento circular de radio $R$ y usando coordenadas cilíndricas, demuestre que la aceleración tiene componentes tangencial y normal:
   
   $$a_T=R\alpha,$$
   
   
   
   
   $$a_N=\frac{v^2}{R},$$
   
   
   donde la velocidad tangencial es $v =\omega R$, $\omega=\dot\phi$ es la velocidad angular, y $\alpha = \ddot\phi$ es la aceleración angular. Demuestre también que para el movimiento circular:
   
   $$\overrightarrow v = \overrightarrow\omega\times\overrightarrow r,$$
   
   
   
   
   $$\overrightarrow a = \overrightarrow\alpha\times\overrightarro... ...rrow\omega\times(\overrightarrow\omega\times\overrightarrow r).$$
   
   

3. Demuestre que en el caso de movimiento curvilíneo (no circular) en el plano, la aceleración tiene componentes:
   
   $$a_\rho=\ddot\rho+\rho\dot\phi^2,$$
   
   
   
   
   $$a_\phi=2\dot\phi\dot\rho+\rho\ddot\phi.$$
   
   

4. Demuestre que
   
   $$\dot{\hat e}_\phi = -\dot\phi(\sin\theta \hat e_r + \cos\theta \hat e_\theta).$$
   
   

5. Demuestre que en el caso general de movimiento curvilíneo, la aceleración tiene componentes:
   
   $$a_r=\ddot r - r\dot\theta^2-r\dot\phi^2 \sin^2\theta,$$
   
   
   
   
   $$a_\theta = 2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta-r\dot\phi^2\sin\theta\cos\theta,$$
   
   
   
   
   $$a_\phi=2\dot\phi(\dot r\sin\theta+r\dot\theta)+r\ddot\phi\sin\theta.$$
   
   

6. Demuestre que el movimiento circular con aceleración angular constante, tiene ecuaciones de movimiento:
   
   $$\phi = \phi_0 + \omega_0(t-t_0) + \frac{1}{2}\alpha (t-t_0)^2,$$
   
   
   
   
   $$\omega = \omega_0 + \alpha (t-t_0).$$
   
   

7. ¿Por qué el movimiento circular se puede considerar unidimensional?
8. ¿Cómo se relacionan el periodo, la frecuencia y la velocidad angular?