Teorema fundamental de la Numeración
Sean X un número representado en un sistema de numeración de base b > 0 :
X(b) = xn xn-1... x1 x0. x-1 x-2...
con xi eD = { d0,d1,...,db-1}
y las funciones de orden:
O: D -> { 0,1,...,(b-1) }, O(dk) = k, k e { 0,1,...,(b-1) }
O-1: { 0,1,...,(b-1) } -> D, O-1(k) = dk
El valor decimal de X es:
X(10) = O(xn)*bn + O(xn-1)*b n-1 + ... + O(x1)*b1 + O(x0)*b0 + O(x-1)*b-1 + O(x-2) + ...
Conversión de número en base b a decimal:
Se aplica directamente el teorema.
Conversión de número entero positivo decimal X a base b :
X = c0*b + r0 con 0 <= r0 < b
Si c0 > b,
X = (c1*b + r1)*b + r0 = c1*b2 + r1*b1 + r0*b0
......................................
Si cn-2 > b, X = (cn-1*b + rn-1)*bn-1+ ... + r1*b1 + r0 = cn-1*bn + rn-1*bn-1+ ... + r1*b1 + r0*b0
Si cn-1 < b, rn = cn-1 y X = rn*bn + rn-1*bn-1+ ... + r1*b1 + r0*b0
Entonces,
X(b) = O-1(rn) O-1(r n-1) ... O-1(r1) O-1(r0)
Conversión de número positivo decimal X < 1 a base b
Por ser X < 1 y b > 0 , entonces:
b*X < b = r-1 + c-1 , 0 <= r-1 < b y c-1 < 1
=> X = r-1/b + c-1/b = r-1*b-1 + c-1*b-1
Si c-1 > 0 , c-1 = r-2/b + c-2/b = r-2*b-1 + c-2*b-1
=> X = r-1*b-1 + r-2*b-2 + c-2*b-2
.......................................
X = r-1*b-1 + r-2*b-2 + r-3*b-3 + ...
El número de términos es finito si para algún m, c-m-1 = 0
Entonces,
X(b) = 0. O-1(r-1) O-1(r-2) ... O-1(r-m)