[Foroprofesoral] Re: Matemáticos mentirosos....

Jue Jul 6 17:22:16 VET 2006

Matemáticas de mago

Un acto sencillo de magia: un mago introduce frente al público
en una caja transparente un número N de bolitas, contando, de
las cuales B son blancas y R rojas, de manera que N = B + R. En
realidad, como buen mago, sin que el público se percate
introduce una parte de las bolitas, tanto de las blancas como
de las rojas, en un compartimiento invisible al público,
manteniendo la MISMA PROPORCIÓN de bolitas blancas y rojas que
tiene el total N, tanto en el compartimiento visible como en el
invisible. Dice las palabras mágicas y luego saca de las cajas
N bolitas una por una, contando, pero ahora hay B bolitas ROJAS
y R bolitas BLANCAS. O sea, invirtió las cantidades de bolitas
de colores.

¿Cómo se puede hacer este acto? En el compartimiento visible al
público de la caja va poniendo un cierto número de bolitas de
cada color, sean b1 blancas y r1 rojas, para un total de C1
bolitas en el compartimiento 1, el VISIBLE, con la misma
proporción de blancas a rojas que hay en el total N. Es decir,
el número de bolitas blancas b1 en el compartimiento 1 está con
el total de bolitas en el compartimiento 1, C1 = (b1 + r1) en
la misma proporción en la que el número de total de bolitas
blancas B está con el total de bolitas N.

   [ b1/C1 = b1/(b1+r1) = B/N ]

En el compartimiento oculto va poniendo las bolitas restantes,
sean b2 blancas y r2 rojas, quedando también con la misma
proporción de bolitas blancas y  rojas, para un total de C2
bolitas en el compartimiento 2, el OCULTO.
El total de blancas sigue siendo:
B = b1 + b2 y de rojas R = r1 + r2;  C2 = b2 + r2.

Para lograr el efecto deseado lo que el mago tiene que hacer,
posiblemente con la intervención de un asistente oculto, es
tener bolitas blancas y rojas adicionales para alterar las
cantidades de bolitas blancas y rojas en el compartimiento
oculto, mientras deja intactas las que están en el visible,
para que el público no vea el arte de magia. Por lo tanto, los
números b1 y r1 no se alteran ni su proporción en el
compartimiento 1, el visible.

Sean b2’ y r2’ las cantidades finales de bolitas blancas y
rojas en el compartimiento 2, el oculto. Sean B’ y R’ las
cantidades totales de bolitas blancas y  rojas después de hacer
el acto de magia. El número total de bolitas debe ser el mismo,
así que N = B’ + R’. El mago quiere invertir las cantidades de
bolita blancas y rojas, es decir, que sea B’ = R y R’ = B.
Entonces:

B’ = b1 + b2’ = R,  por lo que b2’ debe ser igual a R – b1
R’ = r1 + r2’ = B,  por lo que r2’ debe ser igual a B – r1

Evidentemente, para que el arte de magia sea posible debe ser
R > b1  y  B > r1

Ejemplo: Sea N=100, B = 60, R = 40.

Si en el compartimiento visible pone 40 bolitas (C1 = 40),
guardando la proporción, 24 serán blancas:
 b1 = (60/100).40 = 24 y 16 rojas: r1 = C1–b1 = 40–24 = 16

En el compartimiento oculto pone el resto, C2 = N – C1 = 60,
b2 = B – b1 = 60 – 24 = 36:    r2 = R – r1 = 40 – 16 = 24

Entonces, b2’ = R – b1 = 40 – 24 = 16  y
          r2’ = B – r1 = 60 – 16 = 44

B’ = b1 + b2’ = 24 + 16 = 40   R’ = r1 + r2’ = 16 + 44 = 60

El asistente debe retirar del compartimiento oculto b2 – b2’ =
36 – 16 = 20 bolitas blancas y agregar r2’ – r2 = 44 - 24 = 20
bolitas rojas.

El número total de bolitas se mantiene:
N = B + R =60 + 40 =100= B’ + R’ =40 + 60

Repitamos el cálculo algebraico con fracciones (números
porcentuales divididos por 100).

N sigue siendo el total de bolitas. Sea p la fracción de
bolitas blancas en el total N de bolitas y q la fracción de
bolitas totales a poner en el compartimiento 1, el visible.
( 0 < p < 1; 0 < q < 1 )

Entonces B  = p.N    y    R  = (1-p).N
         C1 = q.N    y    C2 = (1-q).N

Como deben mantenerse las proporciones originales en ambos
compartimientos, debe ser:
         b1 = p.q.N   y   r1 = (1-p).q.N

Se verifica que:
b1 + r1 = p.q.N + (1-p).q.N = N.[p.q + (1-p).q] =
          N.[p.q + q – p.q]  = N.q = C1

Igualmente, b2 = p.(1-q).N    y   r2 = (1-p).(1-q).N
b2 + r2 = N.[p.(1-q) + (1-p).(1-q)] =
          N.[p – p.q + 1 – q – p + p.q] = N.(1-q) = C2

Igual que antes, debe ser b2’ = R – b1 y r2’ = B – r1

b2’ = (1-p).N – p.q.N = N.[1 – p – p.q]
r2’ = p.N – (1-p).q.N = N.[p – q + p.q]

El mago debe preguntarse: ¿qué fracción q de bolitas poner en
el compartimiento visible para que el arte de magia de la
inversión sea factible?

Las condiciones son: R > b1   y   B > r1

R > b1 => (1-p).N > p.q.N => (1-p) > p.q => q < (1-p)/p

Si p > (1-p) entonces q < (1-p)/p < 1

De la otra condición:

B > r1 => p.N > (1 - p).q.N => p >  (1 - p).q => q < p/(1-p)

Pero si es p > (1 - p) resultaría q > 1, absurdo, porque q < 1

Así que en definitiva la condición para q es que sea:

    q < (1-p)/p, p > (1-p)

Y como q < (1-p)/p < 1 < p/(1-p), se satisfacen ambas
condiciones.

Las fracciones de bolitas blancas y rojas totales quedan
invertidas, como quería el mago:

     p’ = B’/N = R/N = [(1 – p).N]/N = 1 - p

Ejemplo:

p = 0.60, (1-p) = 0.4

Cualquiera sea N > 0 el número de bolitas y tal que p.N sea
entero, para poder hacer el acto debe ser q < (1 - p)/p =
0.4/0.6 = 0.66... ~ 0.67

Se tabulan varios valores de p > 0.5, p’ y q:

             p     |   p'   |  q <
           --------|--------|-------
             0.60  |  0.40  | 0.67
             0.51  |  0.49  | 0.96
             0.55  |  0.45  | 0.82
             0.645 |  0.355 | 0.55
             0.68  |  0.32  | 0.47
             0.70  |  0.30  | 0.43
             0.80  |  0.20  | 0.25
             0.90  |  0.10  | 0.11
           -------------------------

Un buen mago puede hacer actos de magia más complejos
que este sencillo de invertir las proporciones. Por
ejemplo, puede hacer que las proporciones entre bolitas
blancas y rojas al final del acto sean cualesquiera que
fije, siempre que limite la proporción de bolitas que
queden en el compartimiento visible para que el acto sea
factible.

Marta Sananes