Matemáticas de mago (o por qué no el 100%)

(Este mensaje se preparó pero no fué enviado al foro. Es una
generalización del último enviado el 06.07.2006 con el
título "Re: Matemáticos mentirosos[Matematicas de mago]")

Un acto sencillo de magia: un mago introduce frente al público
en una caja transparente un número N de bolitas, contando, de
las cuales B son blancas y R rojas, de manera que N = B + R.
En realidad, como buen mago, sin que el público se percate
introduce una parte de las bolitas, tanto de las blancas como
de las rojas, en un compartimiento invisible al público,
manteniendo la MISMA PROPORCIÓN de bolitas blancas y rojas que
tiene el total N, tanto en el compartimiento visible como en el
invisible. Dice las palabras mágicas y luego saca de las cajas
N bolitas una por una, contando, pero ahora hay B' bolitas ROJAS
y R' bolitas BLANCAS. O sea, cambió las cantidades de bolitas
de colores y por tanto, las proporciones o fracciones totales de
bolitas blancas y rojas respecto del total de bolitas N.

¿Cómo se puede hacer este acto? En el compartimiento visible al
público de la caja va poniendo un cierto número de bolitas de
cada color, sean b1 blancas y r1 rojas, para un total de C1
bolitas en el compartimiento 1, el VISIBLE, con la misma
proporción de blancas a rojas que hay en el total N.
Es decir:

    b1/C1 = b1/(b1+r1) = B/N

En el compartimiento oculto va poniendo las bolitas restantes,
sean b2 blancas y r2 rojas, quedando también con la misma
proporción de bolitas blancas y  rojas, para un total de C2
bolitas en el compartimiento 2, el OCULTO.

El total de blancas sigue siendo: B = b1 + b2
y de rojas:                       R = r1 + r2 
En el compartimiento oculto hay  C2 = b2 + r2

Para lograr el efecto deseado lo que el mago tiene que hacer,
posiblemente con la intervención de un asistente oculto, es
tener bolitas blancas y rojas adicionales para alterar las
cantidades de bolitas blancas y rojas en el compartimiento
oculto, mientras deja intactas las que están en el visible,
para que el público no vea el arte de magia. Por lo tanto, las
cantidades b1 y r1 no se alteran ni su proporción en el
compartimiento 1, el visible.

Sean B’ y R’ las cantidades totales de bolitas blancas y rojas
después de hacer el acto de magia. El número total de bolitas
debe ser el mismo, así que N = B’ + R’.
 

Realicemos el cálculo algebraico con fracciones (números
porcentuales divididos por 100):

Sea p la fracción original de bolitas blancas en el total N de
bolitas, z la nueva fracción de bolitas blancas después del acto
de magia y q la fracción de bolitas totales a poner en el
compartimiento 1, el visible. 

     0 < p < 1; 0 < z < 1; 0 < q < 1

Entonces B  = p.N    y    R  = (1-p).N
         C1 = q.N    y    C2 = (1-q).N

Como deben mantenerse las proporciones originales en ambos
compartimientos, debe ser:

    b1 = p.q.N       r1 = C1 - b1 = q.N - p.q.N = (1-p).q.N
    b2 = p.(1-q).N   r2 = C2 - b2 = (1.q).N - p.(1-q).N =
                                    (1-p).(1-q).N

El mago debe preguntarse: ¿qué fracción q de bolitas poner en
el compartimiento visible para que el arte de magia sea factible?

Supongamos que originalmente B > R, por tanto, p > (1-p) y que
después del acto el mago quiere que el nuevo número de bolitas
blancas B' sea menor que el original, B' < B, por tanto la nueva
proporción de blancas z = B'/N < B/N = p.

Entonces B' = z.N = b1 + b2', ya que no puede cambiar el número
de bolitas blancas ni rojas en el compartimiento visible pero sí
en el oculto, siendo b2' la nueva cantidad de bolitas blancas en
ese compartimiento oculto.

Deberá ser b2' = B' - b1 = z.N - b1 = z.N - p.q.N

Luego, la condición de factibilidad es que sea b2' > 0, para lo
cual debe ser z.N > p.q.N -> z > p.q, dividiendo por N > 0.

Despejando q, debe ser q < z/p < 1, porque asumimos z < p

El número total R' de bolitas rojas será R' = N - B' y la
nueva fración de bolitas rojas será R'/N = (N - B')/N = 1 - z


Ejemplo:

Para p = 0.60, z = 0.3, debe ser q < z/p = 0.3/0.6; q < 0.50

Se tabulan varios valores de z, q y (1 - z) para p = 0.60:

           ----------------------------
           |   z    |  q <   | 1 - z  |
           |--------|--------|--------|
           |  0.49  | 0.81   |  0.51  |
           |  0.45  | 0.75   |  0.55  |
           |  0.40  | 0.67   |  0.60  |
           |  0.33  | 0.55   |  0.67  |
           |  0.30  | 0.50   |  0.70  |
           |  0.20  | 0.33   |  0.80  |
           |  0.10  | 0.17   |  0.90  |
           ----------------------------

Para p = 0.50:

           ----------------------------
           |   z    |  q <   | 1 - z  |
           |--------|--------|--------|
           |  0.49  | 0.98   |  0.51  |
           |  0.40  | 0.80   |  0.60  |
           |  0.30  | 0.60   |  0.70  |
           |  0.275 | 0.55   |  0.725 |
           |  0.25  | 0.50   |  0.75  |
           |  0.20  | 0.40   |  0.80  |
           |  0.10  | 0.20   |  0.90  |
           ----------------------------



Un caso particular del acto de magia es el de invertir las
cantidades de bolitas blancas y rojas, o sea que sea:

    B' = R, R' = B

lo cual es equivalente a hacer z = 1 - p, asumiendo como antes
que B > R, por lo tanto p > (1 - p)

La condición queda entonces q < (1 - p)/p < 1

Se tabulan varios valores de p > 0.5, (1 - p) y q resultantes
en este acto de inversión:

           ---------------------------
           |  p     | 1 - p  |  q <  |
           |--------|--------|-------|
           |  0.60  |  0.40  | 0.67  |
           |  0.51  |  0.49  | 0.96  |
           |  0.55  |  0.45  | 0.82  |
           |  0.645 |  0.355 | 0.55  |
           |  0.68  |  0.32  | 0.47  |
           |  0.70  |  0.30  | 0.43  |
           |  0.80  |  0.20  | 0.25  |
           |  0.90  |  0.10  | 0.11  |
           ---------------------------