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La conjetura de Taniyama-Shimura y sus implicaciones
Enero 1954, un joven matemático japonés
Goro Shimura (1926-) en un
encuentro accidental por causa de un libro con otro joven
matemático japonés Yutaka Taniyama
(1927-1958) plantearan al mundo matemático una conjetura que
sería fundamental en la prueba definitiva del Último Teorema de
Fermat; ellos estudiaron un tópico conocido como Formas Modulares,
de las cuales dice Singh: " ... constituyen uno de los más
extraños y maravillosos objetos de la Matemática,... el aspecto
clave de las formas modulares es su excesivo nivel de simetría,...
Las formas modulares estudiadas por Taniyama y Shimura se pueden
desplazar, intercambiar, rotar y reflejar en un número infinito de
maneras y aún así permanecen inalteradas, lo que hace de ellas los
objetos matemáticos más simétricos ... Desafortunadamente dibujar,
o incluso imaginarse una forma modular es imposible."
Yutaka Taniyama (1927-1958) Goro Shimura (1926-)
Las Formas Modulares viven en un espacio hiperbólico, y
la diferencia entre las distintas formas modulares es la cantidad
de componentes básicos (cada una tiene estos mismos); así los
componentes de una forma modular pueden describirse por una serie
M de la forma
(M1, M2, ... ).
Coates y Wiles Por otro lado, en 1975 Andrew Wiles bajo la dirección de su tutor John Coates comenzó sus estudios de postgrado en la Universidad de Cambrige, Wiles dice "cuando fui a Cambrige dejé a Fermat de lado. No fue que lo olvidara, siempre estaba allí, pero me di cuenta de que las únicas técnicas que teníamos para abordarlo existían desde hacía 130 años." Singh página 253, Coates persuadió Wiles para que estudiara curvas elípticas, este estudio sería crucial para la carrera de Wiles y la prueba del U.T.F; en general las curvas elípticas tienen ecuaciones de la forma
y se llaman ecuaciones elípticas.
Curvas
Elípticas Diofanto, estudió en la antigua Grecia las ecuaciones elípticas y Fermat estudió tales ecuaciones al punto de probar (muy difícil) que la ecuación elíptica y2 = x3 - 2, tienen un solo conjunto de soluciones en números enteros. Una ecuación elíptica puede tener muchas soluciones en Z, como Z es infinito buscar todas las soluciones en es una tarea imposible. Así, los matemáticos construyeron un espacio numérico finito, llamado la Aritmética del Reloj. Luego dada una ecuación elíptica, se hace una lista de soluciones en cada aritmética del reloj, por ejemplo para la ecuación
x3 - x2 = y2 + y (*)
se construye una serie E, que se deriva de la ecuación elíptica la
serie E para la ecuación (*) E1 = 1, E2 = 4, E3 = 4,
E4 = 8,... esto significa que por ejemplo en la aritmética del
reloj de orden 2 el número de solución de (*) es 4 y así
sucesivamente.
Wiles con su tutor Coates, estudió a profundidad el tópico de
las ecuaciones elípticas logrando nuevos y muchos resultados en
este campo.
Veamos que nos dice Singh sobre esto: "... Wiles no se
daba cuenta de que estaba acumulando la experiencia que muchos
años después lo pondría al borde de una demostración del último
teorema de Fermat. Aunque nadie lo sabía en ese momento, los
matemáticos japoneses de la posguerra ya habían desencadenado una
serie de eventos que habrían de vincular inextricablemente a las
ecuaciones elípticas
con el Último Teorema de Fermat."
Así, estaban en el ambiente lo dos conceptos claves para
dar la prueba definitiva del U.T.F, las formas modulares y
las ecuaciones elípticas; las primeras un "monstruo" muy
complicado, y descubiertas en el siglo XIX, mientras las
ecuaciones elípticas ya estudiadas por los griegos en la
antigüedad. Dos conceptos aparentemente sin ninguna relación pues
habitan en universos matemáticos muy diferentes. En el año de 1966
se estableció la conjetura de Taniyama - Shimura (T-S): "Las formas
modulares y las ecuaciones elípticas son una misma cosa".
Es decir todas las ecuaciones elípticas son modulares y
viceversa. Ahora, se trataba de probar que esta conjetura era
cierta, Singh comenta: "El gran potencial de la conjetura de Taniyama - Shimura radicaba en que conectaría a dos islas y
permitiría que se comunicaran entre ellas por primera vez."
A finales de 1970, los matemáticos verificaron con
ejemplos concretos la conjetura de T-S, es decir comenzaban con
una ecuación elíptica y su serie, y buscaban una forma modular con
una serie M idéntica. Si se lograba probar la conjetura de T - S
los matemáticos habrían dados pasos gigantescos para probar
problemas elípticos que estaban planteados desde hace siglos,
además la conjetura de T-S unificaría grandes campos del mundo
matemático.
En otoño de 1984, se desarrolla un simposio en
Oberwolfach (Alemania), unos de los participantes de los
participantes es Gerhard Frey, Frey sorprende al mundo matemático cuando anuncia: que el que
logre demostrar la conjetura de T - S entonces de inmediato logra
probar el U.T.F; Frey convirtió la ecuación de Fermat en una
ecuación elíptica y de esta manera asoció el U.T.F con la
conjetura de T - S. Veamos que nos dice Singh: "Gerhard Frey
había llegado a la dramática conclusión de que la verdad del
Último Teorema de Fermat sería una consecuencia inmediata de la
demostración de la conjetura de Taniyama - Shimura ... Por primera
vez en cien años el problema matemático más
difícil del mundo parecía vulnerable".
En el trabajo de Frey había un error lógico, pues
faltaba probar que la ecuación elíptica de Frey (conseguida por
Fermat) era tan "rara" que no era modular. Así, probar esto era
probar que
T - S implicaba U.T.F. Pero resulta que lo que
parecía un tópico fácil de superar y en poco tiempo, no fue así.
Ken Ribet profesor de matemáticas de la Universidad de California en Berkeley estaba trabajando sobre la ecuación de Frey, 18 meses de trabajo no fueron suficientes para resolver el problema, Ribet le planteó a su amigo el matemático Barry Mazur, que había probado un caso especial sobre la ecuación de Frey, pero no lograba generalizar para obtener una prueba completa; comenta Singh: "El profesor Mazur bebió su capuchino y escucho la idea de Ribet. Luego se detuvo y miro a Ken, incrédulo. Pero es que no ves? ¡Ya lo hiciste! Todo lo que tienes es que agregar un gamma-cero de estructura (M) y simplemente repetir el argumento y todo funciona, te da todo lo que necesitas".
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