EJERCICIO RESUELTO DE MATEMATICA DISCRETA

(Del libro escrito por el profesor José Rodríguez, que actualmente dicta varias cátedras en la facultad de ciencias en el estado Mérida).Pagina 116, Problema numero 17.

PROBLEMA 1

NOTACION Y TERMINOLOGIA:

Este problema es sumamente interesante porque contiene un bagaje matemático familiar con el estudiante que lo incita a escudriñar el origen de algunas “formulas matemáticas” que han pasado inadvertida durante su formación académica.

F(x): FUNCION GENERATRIZ DE UNA SUCESIÓN.

ANTECEDENTES:

Una de las herramientas utilizadas en este problema es la sumatoria de las progresiones geométricas ampliamente utilizadas en diferentes campos del saber, la cual se puede encontrar en los textos de matemática de secundaria, así como también en los textos universitarios.Entre los cuales podría citar:

Ploblemario de Matemática, 2º año ciclo diversificado e Introducción a la Matemática Universitaria.

Jorge Antonio Salazar, Jofre Tovar Bosch, José Antonio Sarabia, Héctor Pantoja, Fernando Barragán, Julián Rojas Jiménez.

PROBLEMA:¿ Determine la función generatriz para (a_i )=(0³,1³,2³,3³,4³,…,k³…) y encuentre una relación recurrente para esta sucesión.?

SOLUCION:

F(x)=X + 2³X² + 3³X³ +4³X⁴,…………

Ahora busquemos una función cerrada para esta sucesión infinita, tenemos que buscar alguna forma de que F(x), se parezca a la sucesión:

1 + x² +x³ +x⁴,…..=1/1-x (PG) Podríamos pensar en cambio de variable que permita que no aparezca el coeficiente de la variable xⁿ.

Un posible cambio seria: K³ * X^k=U^k

Entonces la función seria: F (u)= U +U² +U³ + U⁴ +U⁵ +U^K-1………..,

Extraemos un factor común (u), Para lograr la expresión deseada:

F (u)= U (1 +U² +U³ + U⁴ +U⁵ +U^K-1). Aplicando la progresión geométrica obtenemos la siguiente formula cerrada:

F (U)= U/1-U

Devolvamos el cambio de variable:

K³*X^k=U^k Donde U=K^3/k * X Y finalmente sustituimos:

F(x)= K^3/k *X/1-K^3/k *X Para k=1, 2, 3, 4……

Procedamos a buscar la relación recurrente la cual es muy sencilla por ser degenerada, es decir, los coeficientes de dicha relación son ceros, porque si pensáramos un poco nos daríamos cuenta que los cubos de n números no tienen ninguna relación entre ellos.

Lo que significa que mi relación recurrente es la siguiente:

a_i = i³

MORALEJA: El sacrificio intelectual es el que ofrece el verdadero conocimiento, y con el tiempo es lo que realmente vale, porque nos hace seres pensantes, permitiéndonos justificar nuestra existencia…..Difícil pero no imposible….

“En variadas ocasiones de la vida lo mas difícil resulta lo mas fácil”

Alumno: Miguel Andrade

CI: 13926438