matemáticas discretas
PRODUCIDO POR
YENNY TORRES <bellota6000@hotmail.com>
PREGUNTA No: 15
Notación y terminología:
Este problema está planteado completamente en Español.Cuando hablamos del desarrollo la serie de Taylor nos referimos a encontrar la derivada e-nesima de la función y evaluarla en cero en este caso la serie planteada al principio del ejercicio.
Antecedentes:
Este problema y otros parecidos donde se utiliza la recurrencia pueden conseguirse en el libro "El Arte de Contar" de José Rodriguez y de los libros de calculo, B. Demidovich, Leithold, capitulo 12.
PREGUNTA 15 .
Determine la función generatriz ordinaria asociada a la función (a1) = (1,-1,1,-1....).
RESPUESTA 15 .
Desarrollando por la serie de Taylor la siguiente función F(x) = 1/(x+1)
Empezamos a derivar y a evaluar
en 0.
F(x) = 1 / (1+x) F(0) = 1
F ' (x) = -1 /
(1+x)2
F(0) = -1
F ' ' (x) = 2 /
(1+x)3
F(0) = 2
F ' ' ' (x) = -6 /
(1+x)4
F(0) = -6
.
.
.
.
Fn (x) = n! / (1+x)n+1 Fn(0) = (-1)n n!
Entonces multiplicamos cada derivada de la funcion evaluada en cero por X elevado al numero de derivada.
F(x) = F(0)X0 / 0! + F ' (0)X1 / 1!
+
F ' ‘ (0)X2 / 2! + F ' ' (0)X3 /
3! + ..... + Fn (0) Xn / n!
= 1 + (-1)X + 2X2 / 2! + (-1)(6)X3 / 3! + .....
+
(-1)n n!Xn / n!
= 1 - X + X2 - X3 + X4 + ......... å(-1)n Xn .
Entonces la función generatriz ordinaria asociada a la sucesión (a1) = (1,-1,1,-1,.....) es la siguiente función:
F(X) = 1 / 1+X = 1 - X + X2 - X3 + X4 + ....... å (-1)n Xn
Moraleja:
Resolver por medio de la serie de Taylor funciones generatrices nos permite obtener una manera mas rápida de desarrollar la función.