Notación y terminología: Este es un problema de Funciones generatrices General. Se tiene los coeficientes ai  para la función generatriz F(x)=a0+a1x+a2x2+… donde ai toma ciertos valores valores.

 

Antecedentes: Este ejercicio es netamente conceptual, pero podríamos aplicarlo a problemas similares, como por ejemplo, el que aparece en el libro del profesor José Rodríguez, El Arte de Contar, Capítulo III, Parte 1. Función Generatriz. Páginas 86 y 87. Ejemplo 1.2. Universidad de Los Andes. Donde los ai generados representan las posibilidades de combinación de los pares de medias.

 

PREGUNTA 1

 

Dé una interpretación de los coeficientes ai , para la función generatriz

F(x)=a0+a1x+a2x2+…donde

F(x)=(1+x+x2…)(1+x2+x4+…)(1+x3+x6+…)(1+x4+x8+…)

(sugerencia: Interprete an en término de soluciones de la ecuación x1+x2+x3+x4=n. ¿Cuáles serían las restricciones para los xi?)

 

Este ejercicio es netamente conceptual, Tomemos en cuenta que:

X1= (1+x+x2…)

X2=(1+x2+x4+…)

X3= (1+x3+x6+…)

X4= (1+x4+x8+…)

 

Y que por lo tanto los patrones conductuales de cada uno son:

       

X1= ∑ xi

        i=0

       

X2= ∑ x2i

        i=0

       

X3= ∑ x3i

        i=0

       

X4= ∑ x4i

        i=0

 

 

Las cuales vienen siendo las restricciones para los xi

 

Y los ai  (con i=0,1,2,3…) representados en la función generatriz F(x)=a0+a1x+a2x2+…  representan la manera de repartir n elementos en las 4 categorias dadas; respetando las restricciones dadas.

 

Si modelamos el antecedente dentro del ejercicio dado, podríamos decir que tenemos 4 distintos colores, e infinitos pares de medias, donde la representación de los valores de x3 (por dar un ejemplo) vendría siendo que los pares de medias solo se puedan sacar de 3 en 3, es decir que los pares estuviesen embolsados o amarrados en paquetes de 3 pares.

 

 

Moraleja: Siempre debemos tomar en cuenta el mensaje conceptual de este ejercicio, para identificar el significado de los elementos en estudio.

 

Este ejercicio, es un análisis general para los problemas de funciones generatrices; donde se debe resaltar que el patron conductual de los xi esta generado por sus restricciones, y que los coeficientes acompañantes en la función generatriz son las posibilidades de combinación de los elementos en sus categorías dadas.