38.-Demuestre que la relación recurrente h n = 4 h n-1 puede tener muchas soluciones. Pruebe que esta recurrencia tiene una única solución si sabemos que A0 = 2.
Solución:
h n = 4 h n-1
h n + 4 h n-1 = 0 (1)
(1) Es una relación de recurrente lineal homogénea con coeficientes constantes de grado 1.
A (1) se le asocia la ecuación x – 4 = 0 donde r1 = 4 es su raíz característica.
Por el teorema de la sección 2.2 que dice:
Sea α un número real o complejo distinto de cero. Entonces hn = αn es una solución de hn =c1hn-1+ c2 hn-2+…+ck hn-k con ck ≠ 0 si y solamente si α es una raíz característica.
Ahora bien:
hn = 4n es una solución de la relación (1)
Observe que hn = 4 * 4n – 1 = 4n
Si hn = 4n satisface la relación de recurrencia entonces
An = λ*4n es una solución de (1) donde λ es constante.
Ahora para la condición inicial A0=2
La solución única es
An = λ * 4n
A0 = λ * 40 = 2
λ =2.
Entones la solución general y única de (1) será
An = 2*4n