PROBLEMA 11

 

Notación y Terminología

En los siguientes tres ejercicios se resolverán funciones generatrices ordinarias para encontrar las sucesiones (  ), las cuales se representan por una serie de potencias, por ejemplo:

 

Antecedentes: Problemas similares, pero no idénticos, aparecen en el libro del profesor José Rodríguez, El Arte de Contar, Capítulo III, Parte 1. Función Generatriz. Página 89. Ejemplo 1.6 y 1.7. Universidad de Los Andes.

 

PREGUNTA 1.1

Encuentre la sucesión  asociada a la función generatriz:

 

RESPUESTA 1.1

Factorizando la expresión anterior obtenemos lo siguiente:

 

Haciendo una simplificación de la expresión anterior, podemos decir:

 

 

De donde obtenemos que:

 

 

 

De lo anterior obtenemos

 

 

Resolvemos el Primer Miembro de la ecuación anterior y proponemos el cambio de variable

 

 

Devolviendo el cambio de variable planteado anteriormente obtenemos

 

 

Resumiendo

 

 para

 

Resolviendo el Segundo Miembro de la ecuación, tenemos:

 

Resumiendo

 

 para

 

La respuesta a este problema se encuentra al sumar los términos encontrados en la solución del Primer Miembro y el Segundo Miembro

 

 para

 

PREGUNTA 1.2

Encuentre la sucesión  asociada a la función generatriz:

 

RESPUESTA 1.2

Haciendo una simplificación de la expresión anterior, podemos decir:

Resolviendo el primer miembro de la ecuación anterior, tenemos que:

Por lo tanto, para el primer miembro de la ecuación encontramos  para

Resolviendo el segundo miembro de la ecuación, tenemos que:

Aplicamos un cambio de variable

Ahora, encontramos que:

Devolviendo el cambio hecho anteriormente

Por lo tanto, para el segundo miembro de la ecuación encontramos  para

Restando el primer miembro menos el segundo miembro de la ecuación, obtenemos que:

 para

 

PREGUNTA 1.3

Encuentre la sucesión  asociada a la función generatriz:

 

RESPUESTA 1.3

 

 

Haciendo una simplificación de la expresión anterior, podemos decir:

 

 

Si

Si

 

Con lo anterior, podemos deducir lo siguiente

 

 

Resolviendo el primer miembro de la ecuación anterior

 

Se propone el cambio de variable , por lo que nos queda

 

 

Devolviendo el cambio propuesto anteriormente, tenemos que

 

Con lo anterior podemos decir que  para

 

Resolviendo el segundo miembro de la ecuación, tenemos

 

De esta manera obtenemos  para

Sumando los resultados del primer y segundo miembro de la ecuación, se obtiene lo siguiente:

 para

 

Moraleja

Las funciones generatrices nos permiten crear expresiones “cerradas”, para ello no es necesario conocer el término , es más, podemos partir de la expansión de la expresión “cerrada” para encontrar el número combinatorio . La comodidad que nos ofrece la función generatriz se basa en el hecho de que no es necesario recurrir a la expansión de las expresiones “cerradas” para conocer los distintos coeficientes  que acompañan a las variables  en dicha expansión.

 

Producido por: Milton Mazzarri