46. Como colorear  las  aristas de  un  cuadrado con r  colores?

Para  la resolución de  este  problema  utilizamos  el Teorema  de Polya, el  cual nos  ayuda  a contar  el numero  de maneras  distintas en que  se puede colorear ciertas estructuras no orientadas.

Lo  primero que  debemos  hacer es  encontrar el grupo de  simetrías  de  un  cuadrado con aristas 1,2,3 y  4  este  caso  lo  podemos  generalizar para vértices  debido  a  que  son  4  vértices, y  cada  vértice  se  puede  asociar  con las  aristas.

Para  ello debemos hallar los  ejes  de  simetría  del  cuerpo, en  este  caso podemos  decir:

Y de alli se  encuentran las  diferentes  permutaciones:

(1)(2)(3)(4)        X₁ ⁴

(1234)                X₄

(13)(24)              X₂ ²

(1432)                 X₄

(14)(23)              X₂²

(12)(34)              X₂²

(13)(2)(4)           X₂X₁²

(1)(24)(3)            X₂ X₁²

Si  queremos  colorearlo  con r  colores, las maneras serán:

Moraleja:  Este teorema  nos permite  encontrar las maneras  de colorear cualquier  estructura no orientada, es  decir  que  lo principal  es  encontrar  las simetrías  de  dicho objeto, para un  cubo  por  ejemplo, una  eje  de  rotación  atraviesa dos  caras  opuestas, otro eje  atraviesa dos  vértices  opuestos, y  en estos  casos  debemos  ver las  rotaciones  de  las  caras, vértices  o  aristas  del  cubo, respecto  a los  ejes  de  simetría.

Alumno: Maria Alejandra Bermúdez

C.I: 15.566.288