Ejercicio de matemáticas discretas

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El problema aquí planteado es completamente en español. Cuando se dice que en las cuatro primeras cajas los objetos que se coloquen sean entre cuatro y siete se refiere que como mínimo en las cuatro primeras deben ir 16 objetos y como máximo 28 , y cuando me hablan de un numero par de objetos no superior 8 me indica que para las ultimas 3 cajas como mínimo deben ir 0 objetos y como máximo 24 objetos.

 Antecedentes

Un problema parecido aparece en el libro de José Rodríguez. El arte de contar      Capitulo 111  (ejemplo 1.2)Universidad de los Andes.

Pregunta 3  

Encuentre una función generatriz para la sucesión donde  es el numero de maneras distribuir i objetos en siete cajas con numero par de objetos no superior a 8 en las ultimas tres cajas y en las cuatro primeras los objetos que se coloquen estén entre cuatro y siete.

Se debe construir un polinomio asociado a la cantidad de objetos que yo introduzca de modo que la sucesión contenga cuatro términos con exponentes entre cuatro y siete y tres términos con exponentes que sean menores o iguales a ocho.

f(x)=(x⁴+ x⁵ + x⁶ + x⁷ )⁴+ ( 1 + x² + x⁶ + x⁸ )³

      Debido a la complejidad del problema el mismo será resuelto en dos partes

Formula general para hallar el polinomio

1^ra parte:

(x⁴+ x⁵+ x⁶+ x⁷)(x⁴ + x⁵+ x⁶+ x⁷)+(x⁴+ x⁵+ x⁶+ x⁷ )(x⁴+ x⁵+ x⁶ + x⁷)

             resolución del polinomio:

        (x⁴+ x⁵+ x⁶+ x⁷)(x⁴+ x⁵+ x⁶+ x⁷)

(x⁸+ x⁹+ x¹⁰+ x⁹+ x¹⁰+ x¹¹+ x¹²+ x¹⁰+ x¹¹+ x¹²+ x¹³+ x¹¹+ x¹²+ x¹³+ x¹⁴)

simplificando un poco la ecuación:

(x⁸+ 2x⁹+ 3x¹⁰+ 4x¹¹+ 3x¹²+ 2x¹³+ x¹⁴)(x⁸+ 2x⁹+ 3x¹⁰+ 4x¹¹+ 3x¹²+ 2x¹³+ x¹⁴)

resolviendo los polinomios la ecuación queda de la siguiente manera:

(x¹⁶+2x¹⁷+3x¹⁸+4x¹⁹+3x²⁰+2x²¹+x²²+2x¹⁷+4x¹⁸+6x¹⁹+8x²⁰+6x²¹+4x²²+2x²⁴+3x¹⁸+6x¹⁹

+9x²⁰+12x²¹+9x²²+6x²³+3x²⁴+4x¹⁹+8x²⁰+12x²¹+16x²²+12x²³+8x²⁴+4x²⁵+3x²⁰+6x²¹+

9x²²+12x²³+9x²⁴+6x²⁵+3x²⁶+2x²¹+4x²²+6x²³+8x²⁴+6x²⁵+4x²⁶+2x²⁷+2x²³+3x²⁴+4x²⁵+

     3x²⁶+ 2x²⁶+ 2x²⁷+ x²⁸)

 =x¹⁶+4x¹⁷+10x¹⁸+20x¹⁹+31x²⁰+40x²¹+44x²²+38x²³+33x²⁴+20x²⁵+10x²⁶+4x²⁷+x²⁸

    2^da parte:

    resolución de el polinomio de orden tres:

    (1+ x²+ x⁴+ x⁶+ x⁸)³   desglosando el polinomio me queda:

    (1+ x²+ x⁴+ x⁶+ x⁸)(1+ x²+ x⁴+ x⁶+ x⁸)(1+ x²+ x⁴+ x⁶+ x⁸)

    resolviendo dos ecuaciones y luego multiplicando por el siguiente obtengo mi segunda parte     de la función.

    (1+x²+x⁴+x⁶+x⁸+x²+x⁶+x⁸+x¹⁰+x⁴+x⁶+x⁸+x¹⁰+x¹²+x⁶+x⁸+x¹⁰+x¹²+x¹⁴+x⁸+x¹⁰+x¹²+x¹⁴+x¹⁶)

    sumando términos iguales me queda :

    (1 + 2x²+2 x⁴+4 x⁶+5 x⁸+4 x¹⁰+3 x¹²+2 x¹⁴+ x¹⁶)

    (1+ x²+ x⁴+ x⁶+ x⁸)(1+ 2x²+ 2x⁴+ 4x⁶+ 5x⁸+ 4x¹⁰+ 3x¹²+ 2x¹⁴+ x¹⁶)

    (1+2x²+2x⁴+4x⁶+5x⁸+4x¹⁰+3x¹²+2x¹⁴+x¹⁶+x²+2x⁴+2x⁶+4x⁸+5x¹⁰+4x¹²+3x¹⁴+2x¹⁶+x¹⁸+

    x⁴+2x⁶+2x⁸+4x¹⁰+5x¹²+4x¹⁴+3x¹⁶+3x¹⁸+x²⁰+x⁶+2x⁸+2x¹⁰+4x¹²+5x¹⁴+4x¹⁶+3x¹⁸+

    2x²⁰+x²²+x⁸+2x¹⁰+2x¹²+4x¹⁴+5x¹⁶+4x¹⁸+3x²⁰+2x²²+x²⁴

    reduciendo el polinomio se obtiene:

= 1+ 3x²+ 5x⁴+ 9x⁶+ 14x⁸+ 17x¹⁰+ 18x¹²+ 18x¹⁴+ 15x¹⁶+ 11x¹⁸+ 6x²⁰+ 3x²²+ x²⁴

 =1+3x²+0x³+5x⁴+0x⁵+9x⁶+0x⁷+14x⁸+0x⁹+17x¹⁰+0x¹¹+18x¹²+0x¹³+18x¹⁴+0x¹⁵

    +16x¹⁶+4x¹⁷+21x¹⁸+20x¹⁹+37x²⁰+40x²¹+47x²²+38x²³+34x²⁴+20x²⁵+10x²⁶+4x²⁷+x²⁸

 formula general:

f(x)=