Notación y terminología

Una sucesión de números muy conocida y usada en matemáticas es justamente la sucesión de Fibonacci, que se construye de la siguiente manera:

a) La sucesión empieza con dos unos.
b) Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo.
c) La sucesión es infinita

Así la sucesión de Fibonacci es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...

Antecedentes

Se encuentra un ejercicio relacionado con la razón áurea publicado en http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci.

 

Pregunta 22

 Demuestre que la sucesión de Fibonacci (fi), cumple que :

                                         

                                               f02 + f12+ …+ fn2 =fn*fn+1

Respuesta

 

-Demostración por Inducción

 

n=1

f02 + f12 = f1*f2

1   +  1 =  1*2

    2      =    2

 

f02 + f12 + ….+ fn2 = fn * fn+1

f02 + f12 + ….+ fn2 + fn+12 = fn * fn+1 + fn+12

f02 + f12 + ….+ fn2 + fn+12 =  fn+1 ( fn+ fn+1 )

f02 + f12 + ….+ fn2 + fn+12 =  fn+1 * fn+2

 

-Otra demostración

Los rectángulos de Fibonacci y los rectángulos áureos.

Tómese un cuadrado cuyo lado sea un número de Fibonacci, sobre uno de sus lados, copie el cuadrado anterior, de manera que obtenga un rectángulo, cuyos lados sean dos números de Fibonacci consecutivos, e inscríbase en él sucesivamente los cuadrados más grandes que sea posible, tal como muestra la figura. Entonces, todos los cuadrados, excepto los dos más pequeños, serán de tamaños diferentes.

 

Ahora considérese un rectángulo cuyos lados sean miembros consecutivos de la doble serie geométrica, a estos rectángulos los llamaremos rectángulos áureos.

Esto es

base/altura = f, o bien, base/altura=1/f

La Figura  muestra cómo puede agotarse casi por completo un rectángulo áureo, la figura restante después de que se inscribe cada cuadrado sucesivo es un rectángulo áureo.

 Los rectángulos áureos se ven bien proporcionados, y producen un efecto estético, por lo general, estos objetos también son funcionales, por lo que muchos de nuestros objetos rectangulares, tales como libros, cajas de fósforos, tarjetas de crédito, tienen esta forma particular.

 Vemos ahora una curiosidad geométrica de los números de Fibonacci.

  Examina el rectángulo del lado izquierdo de la figura, nota que tenemos 5 cuadrados, y 4 rectángulos de Fibonacci, compara sus áreas, y deduce que puede pasar en general.

Solución:

1. El más pequeño, tiene altura 2, y anchura 1, y esta formado por dos cuadrados de lado 1. Así, por una parte, el área del rectángulo es: f1 f2 = (1)(2), y por otro, = 1 + 1.

2. El siguiente, tiene altura 2, y base 3, y esta formado por tres cuadrados, dos de lado 1, y uno de lado 2. Si nuevamente comparamos sus áreas tenemos:

3. Si continuamos con este proceso, tenemos un rectángulo de Fibonacci de altura 5, y base 3. El cual consta de 4 cuadrados, dos de lado 1, uno de lado 2, y otro de lado 3 así, comparando nuevamente sus áreas:

4. Finalmente, podemos ver que nuestro último rectángulo tiene altura 5 y base 8, el cual esta formado por 5 cuadrados; dos de lado 1, uno de lado 2, uno de lado 3, y otro de lado 5. Y si comparamos sus áreas tenemos:

Podemos deducir de aquí que, la suma de los cuadrados de los primeros n números de Fibonacci, es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos, a saber:

Moraleja

Los números de fibonacci en programación se utilizan para el diseño de algoritmos recursivos en el que el tiempo de ejecución de una rutina recursiva es el tiempo de la propia rutina más el de las subsiguientes llamadas recursivas.

 

 

                                                                                                        Maria Elena Noriega

                                                                                                        C.I : 16064149