Antecedentes

 Las clases de equivalencia en las que ~ particiona al conjunto S se denominan órbitas de la acción de G sobre S. Por lo tanto la clase de equivalencia a la cual pertenece un elemento x, la vamos a llamar la órbita de x y la representaremos por


Sea G : S, para cada s S, vamos a definir el estabilizador de G, denotado por Gx, el cual es el conjunto de todos los elementos de G que dejan invariante (por la acción de G sobre S) a s. En otras palabras:

Sea (G,*) un grupo y a, b G, entonces se dice que b es un elemento conjugado de a en G, si existe c S, tal que b = c-1*a*c. Vamos a escribir a ~ b para referirnos al hecho de que b es un elemento conjugado de a, y ~ denota lo que denominaremos relación de conjugación.
Hay que tener presente además que

i.- a ~ a
ii.- Si a ~ b quiere decir que existe c G tal que b = c-1*a*c.
iii.- Si a ~ b y b ~ c, entonces c ~ a

Ejercicio

 Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto S que contiene al menos dos elementos. Se dice que G es transitiva si para cualquier par de elementos x, y S, existe g G tal que g.x=y. Demuestre que

i.- Para cualquier x S, θx = S.

Dado que la acción de G sobre x me indica que el resultado va a ser un arreglo del mismo conjunto S llamado y, podemos decir que cualquier acción g ejecutada sobre x me va a dar por resultado un elemento del conjunto y por tanto podemos conseguir n operaciones que me produzcan los n elementos que conforman S, y como estas acciones las conocemos como órbitas entonces, las órbitas de x serán iguales al conjunto S.

ii.- Todos los subgrupos estabilizadores Gx, x S son conjugados.

Si sabemos que los elementos que conformen Gx son todos aquellos estabilizadores y también conocemos que la acción de G sobre el conjunto S es g.x=y, podemos asumir entonces que g.x=x, y g.y=y, además sabemos que g ~ g, y esto se va a cumplir para cualquier gi que pertenezca a Gx.

iii.- Sea G subgrupo del grupo simétrico Sn, e su identidad, entonces


Lo que queremos probar es que el subgrupo G es el elemento identidad, dado que la acción de G sobre S es es g.x=x podemos decir que tratamos de probar entonces que cualquier acción ejecutada sobre un elemento de S me va a dar por resultado el mismo elemento, dado que G es subgrupo de un grupo simétrico, el único elemento posible que me pueda realizar esta acción es el elemento identidad, es decir, e. Podemos anexar que si tomamos cualquier configuración desde ρ1 hasta ρn estas producirán desde 1 hasta n cambios en la configuración inicial del conjunto S, y cualquier otra combinación de sub-grupos del grupo simétrico que de hecho me deje el conjunto inicial con la misma configuración resulta en ρ0 = I

iv.- Demuestre que |S| divide a |G|

Sabemos que |Gx|.|θx|=|G|, también sabemos de ii.- que |θx|=|S| luego tenemos que

Nelson Ricardo Grimaldos Baptista
C.I. 16306912