Producido por Br. Olga González Miranda

Estudiante del curso de Matemáticas Discretas

Semestre A-2004

<olgagonzalez16@hotmail.com>

PROBLEMA 31

Notación y terminología: Los coeficientes que acompañan al término n-ésimo en la función generatriz exponencial me indican el número de n-permutaciones de un multiconjunto M definido.

(a_i) denota una sucesión.

a_n denota el coeficiente del término n-ésimo de la sucesión (a_i).

a_k =E(x)|x^k/k! significa que a_k es el coeficiente que acompaña a x^k/k! en la función E(x).

Antecedentes: Debemos saber que si (a_i) es una sucesión, la función generatriz exponencial asociada a ella es:

Y esta es la función generatriz asociada a la sucesión que cuenta permutaciones.

Además la función generatriz exponencial de la sucesión (a_i)=1 para i=0,1,...

es:

PREGUNTA .

Encuentre la función generatriz exponencial para el número de maneras de colocar k estudiantes en cinco salones diferentes con al menos un estudiante en cada salón.

RESPUESTA .

Consideremos el multiconjunto M={x₁^m1,x₂^m2,...,x_n^mn}, donde x₁,x₂,..,x_n representan el número de salones diferentes y m₁,m₂,...,m_n el número de estudiantes que puede haber en cada salón.

En este caso el número de salones diferentes es igual a 5 y m₁,m₂,...,m₅ será el número de estudiantes que puede ir en el salón 1, en el salón 2, ..., en el salón 5, respectivamente.

El problema nos impone una condición: m_n puede tomar como mínimo el valor de 1, ya que debe haber por lo menos un estudiante en cada salón, es decir no puede quedar ningún salón vacío.

Entonces consideremos la siguiente función generatriz exponencial:

donde en primer salón puede haber 1,2,...,ó m₁ estudiantes; en el segundo salón puede haber 1,2,...,ó m₂ estudiantes, y así sucesivamente para cada salón hasta el quinto.

Como tenemos k estudiantes, se deduce fácilmente que:

es decir, el número de estudiantes en total tiene que ser igual a la suma del número de estudiantes en cada uno de los salones.

Luego para saber el número de k-permutaciones formadas del multiconjunto M que hemos definido, debemos tomar el coeficiente del término k-ésimo de nuestra función generatriz exponencial, bajo la condición planteada anteriormente, esto es:

a_k da la manera de colocar k estudiantes en 5 salones diferentes. ♠

Para ilustrar un poco la solución, suponga que tenemos la siguiente distribución 1,1,1,1,k-4 para los 5 salones. Entonces:

Vemos que el coeficiente de:

y se cumple.

Si tuviéramos 5 estudiantes, es decir k=5, tendremos que la distribución que se puede hacer es colocar 1 estudiante en cada salón, entonces:

Y 5! es el número de maneras de colocar 5 estudiantes diferentes en 5 salones diferentes. ♠

Moraleja: Las funciones generatrices exponenciales son una poderosa herramienta que nos permite contar objetos sin necesidad de realizar cálculos engorrosos.