.Por Jacinto Dávila
Universidad de Los Andes, Venezuela
versión 0.9
La lógica y las probabilidades han tenido una relación larga y difícil.
Para algunos, desde la lógica, la objeción principal contra las probabilidades es la renuncia forzosa al principio del medio excluido (una proposición ó es verdadera ó es falsa): en toda teoría probabilística, es posible que una proposición sea verdadera y sea falsa al mismo tiempo, puesto que ambas posibilidades tienen asociadas sus correspondientes probabilidades de ocurrencia (o de “ser el caso”). En particular, ambas pueden tener la misma probabilidad (0.5), lo cual conduce a una representación compacta de la mayor ignorancia (es decir, cuando no sabemos nada, las alternativas son igualmente probables).
Desde las probabilidades se esgrime contra la lógica una versión “edulcorada” de ese argumento de la representación compacta. Se dice que la lógica es más débil porque no permite una representación de los “grados de verdad” (alguna medida de la verosimilitud, por ejemplo) que puede tener una proposición y que es obvio que, en el complejo mundo moderno, las cosas no son simplemente ciertas o falsas, sino que hay matices.
El afán por los matices (“No tienes toda la razón”, “No es tan cierto”, “Eso es más importante”, “Está muy oscuro”, “Eso es casi rojo") ha dado origen a toda una familia de lógicas que conceden espacio para incorporar "grados de verdad" en su semántica (además de la sintáxis, claro está). Se les conoce como las lógicas posibilísticas y la más popular es, sin duda, la lógica difusa (fuzzy logic). Un ingeniero tiene que conceder rápidamente el valor práctico que tiene la lógica difusa, que se ha convertido en una herramienta para “entonar” representaciones lógicas a bordo de dispositivos con poca capacidad de razonamiento (o de cómputo, debería decir).
El contra-argumento de los lógicos es que uno de los propósitos fundamentales de la lógica es desafiar los matices, permitiendo a quien razona descubrir las distinciones esenciales (distinciones en las esencias) que nos permiten decidir (escogiendo entre una opción u otra). Conformarse con la visión difusa, que bien podría justificarse por razones instrumentales (o prácticas), supone que el lógico renuncie a su otro afán: el de descubrir las reglas exactas que caracterizan un sistema, por muy complejas que sean esas reglas. Por esta razón, algunos lógicos dicen que la lógica difusa es como la comida rápida, ni es comida, ni es rápida.
No vamos a pretender resolver esa discusión histórica en este breve texto. Vamos a presentar, sin embargo, la especificación (lógica) de un motor de inferencia (lógica) que razona con una representación (lógica) que incorpora probabilidades.
La semántica a la que se refiere esa representación supone que en lugar de decir que una proposición Q es el caso, decimos que una proposición Q es el caso con una probabilidad P.
Antes de mostrar la especificación cabe un comentario acerca de lo que estamos haciendo. Se trata de describir en lógica como es un proceso de razonamiento lógico. Una de las virtudes más interesantes de la lógica es su capacidad para hablar de sí misma. En estas circunstancias decimos que el lenguaje sirve como su propio meta-lenguaje. O también, que la lógica es un meta-lenguaje porque habla de otro lenguaje “objeto”, en este caso, de sí misma.
Así, lo que sigue es una colección de reglas que describen cómo razonar con las reglas lógicas combinadas con anotaciones probabilísticas. Noten que el lenguaje objeto lo indicamos en negritas:
1.- demuestro Q con prob(Q) = W si
conozco que Q ssi (B1 o B2 o ... o Bn)
y Para todo Wi, prob(Q/Bi) = Wi
y Para cada Bi,
demuestro Bi con prob(Bi) = Wbi
y W
=
.
2.- demuestro (si A y R entonces B) con prob( A y R y B ) = W si
demuestro A con prob(A) = Wa
y demuestro (si R entonces B) con prob( R y B) = R
y W = Wa * R.
3.- demuestro (si cierto entonces B) con prob(B) = W si
demuestro B con prob(B) = W.
4.- demuestro (A y R) con prob( A y R ) = W si
demuestro A con prob(A) = Wa
y demuestro R con prob(R) = Wr
y W = Wa * Wr
5.- demuestro Q con prob(Q) = W si
abducible(Q) y
estimo prob(Q) = W.
6.- demuestro Q con prob(Q) = 0 si
no puedo demostrar Q de ninguna manera.
Lo más interesante de esa colección de (meta)-reglas es que las podemos usar como un (meta) interpretador (algunos dicen que el prefijo meta sobre porque, después de todo, ¿quien ha visto un interpretador que no opere sobre un lenguaje objeto?)
Para ver como funciona, considere la siguiente representación “enriquecida”:
falla_bombillo ssi malo_bombillo o salto_de_voltaje.
prob(falla_bombillo/malo_bombillo) = 0.4
prob(falla_bombillo/salto_de_voltaje) = 0.5
abducible(malo_bombillo).
abducible(salto_de_voltaje).
estimo prob(malo_bombillo) = 0.5
estimo prob(salto_de_voltaje) = 0.3
Razonando hacia atrás a partir de:
demuestro falla_bombillo con prob(falla_bombillo) = W.
con 1.- reduzco a
demuestro malo_bombillo con prob(malo_bombillo) = Wm y
demuestro salto_de_voltaje con prob(salto_de_voltaje) = Ws
y
W=Wm*0.4+Ws*0.5.
y luego con 5.- y la representación anterior obtengo
Wm = 0.5
Ws = 0.3
y
W = 0.5*0.4+0.3*0.5 = 0.35
De esta forma, concluímos que:
falla_bombillo con prob(falla_bombillo) = 0.35
Observe que este no es más que otro ejercicio de razonamiento hacia atrás a partir de una meta de alcance. La diferencia notable es la necesidad de calcular sobre todo el árbol de pruebas, lo cual puede (aunque no es necesario) implicar un aumento considerable de la complejidad.
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Fin del documento. Versión 0.9.