Programa de Cálculo 30

Unidad 1: Función real de dos y mas variables. Límites y continuidad.

Cilindros y superficies cuádricas. Trazas.
Funciones de dos variables definidas a partir de una superficie en el espacio. Funciones de tres o más variables. Uso de las superficies cuádricas para representar funciones de dos variables.
Representación del dominio de funciones de dos y tres variables. Representación gráfica. Curvas de nivel.
Límite y continuidad de funciones de dos variables. Cálculo de límites de funciones de dos o más variables: estudio de la existencia y no existencia de límites. Algebra de las funciones continuas.
Estudio de la continuidad de una función de dos variables en un punto y en una región del plano.

Unidad 2: Derivadas parciales y diferenciales de funciones de varias variables

Derivada parcial y derivada direccional en un punto. La función derivada parcial de primer orden y la función derivada parcial de segundo orden.
Relaciones entre funciones continuas-derivables-diferenciables.
Derivadas parciales de orden superior: Teorema de Schwarz. Diferenciabilidad de una función en un punto. Relación entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad.
Derivada direccional de una función diferenciable. Vector gradiente y aplicaciones: vector normal y plano tangente.
Cálculo aproximado por el uso de diferenciales. Conexión existente entre el plano tangente y la forma para calcular valores aproximados usando diferenciales. Cálculo de errores.

Unidad 3: Funciones Implícitas y Extremos Relativos

Funciones definidas de forma implícita. Derivada de las funciones definidas de forma implícita en cada uno de los siguientes casos: Función implícita de una variable, función implícita de dos variables, sistema de dos funciones implícitas de dos variables (Jacobiano).
Calculo de derivadas parciales de una función definida de forma implícita.
Teorema del valor Medio. Fórmula de Taylor.
Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos en una función de dos variables. Extremos relativos de funciones de dos variables: Hessiano.
Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange.
Solución de problemas donde se aplica el concepto de extremos relativos o condicionados.

Unidad 4: Integrales Dobles y Triples

Integrales dobles. Propiedades. Cambio de variable en integrales dobles: Coordenadas Polares.
Área de una figura plana por medio de integrales dobles.
Cálculo de integrales dobles. Aplicación de coordenadas polares para evaluar integrales dobles. Cálculo de integrales dobles por medio de cambios polares.
Integrales triples. Propiedades. Cálculo de integrales triples. Relación entre el concepto de volumen mediante integrales dobles y el concepto de volumen mediante integrales triples.
Cambio de variable en integrales triples. Coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas. Aplicación de coordenadas cilíndricas para evaluar integrales triples. Aplicación de coordenadas esféricas para evaluar integrales triples.
Cálculo de integrales triples usando cambios cilíndricos o esféricos. Cambios de variable en general.

Unidad 5: Integral de línea y de superficie

Funciones vectoriales de dos componentes (parametrizaciones de curvas en el plano) y de tres componentes (parametrizaciones de curvas en el espacio). Límite, derivada e integración de funciones vectoriales.
Cálculos con funciones vectoriales. Aplicación del concepto de funciones vectoriales. Movimiento curvilíneo en el plano y en el espacio: vector posición, velocidad y aceleración.
Funciones vectoriales de dos variables reales: límite, continuidad y derivadas parciales.Campos vectoriales. Líneas de fuerza. Campos conservativos y la función potencial. Identificación de campos conservativos.
La divergencia y el rotacional de un campo vectorial. El operador nabla . El operador de Laplace.
Integral de línea y propiedades. Independencia de las trayectorias en una integral de línea. Cálculo de integrales de línea.
Teorema de Green. Circulación de un vector a lo largo de una curva. Integral de superficie. Aplicación del Teorema de Green.
Concepto de superficie en el espacio: coordenadas curvilíneas de los puntos de la superficie. El vector normal y el plano tangente a la superficie en un punto. Orientación de superficie.
Flujo de un campo a través de una superficie. Teorema de Gauss. Aplicación del Teorema de Gauss. El teorema de Green como un caso particular del teorema de Gauss.
Teorema de Stokes. Aplicación del Teorema de Stokes.

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