limite de funciones de dos variables

(Cálculo 30. Profesor Richard Rosales.)

Apuntes de Cálculo 30

Sección 1.3

Límites de funciones de dos variables.

La definición de límite de funciones de dos variables es la misma que para funciones de una variable. La única diferencia está en la dimensión, pues en funciones de una variable, el número es el límite de una función cuando tiende a si cada vez que este muy cerca de , se tiene que está muy cerca de ; esto significa, intuitivamente que cada vez que nos acercamos al un número en la recta real por todas las direcciones posibles (que no son mas que dos), los valores correspondientes también se acercan al número ; mientras que para funciones de dos variables el número es el límite de una función cuando tiende al punto si cada vez que esté muy cerca , también se tiene que está muy cerca de , esto significa, intuitivamente, que cada vez que nos acercamos al punto en el plano a través de cualquier dirección (que en este caso son infinitas) , se debe tener que se acerca a .

Es claro que para acercarnos a un punto en la recta, lo podemos hacer o por la derecha o por la izquierda, mientras que para acercarnos a un punto en el plano, lo podemos hacer a través de cualquier recta que lo contenga, a través de cualquier curva que lo contenga, incluso si esta tiene forma de espiral. Por lo tanto, el evaluar límites de funciones de dos (o más) variables es un trabajo que se debe realizar en dos pasos: primero encontrar el posible valor límite, si es que existe y segundo demostrar que en realidad este valor es el límite de la función. Esto lo podemos hacer usando la siguiente definición.

1.3.1 Definición: Diremos que es el límite de una función cuando tiende al punto y escribiremos

si para cada existe un tal que

si .

Observación: La afirmación , significa, según el despliegue de la desigualdad que pertenece al intervalo , pues se tiene .

Figura 1

Observación: La afirmación , significa, según el despliegue de la desigualdad, que pertenece al círculo abierto centrado y de radio , con pues .

Note que para evaluar el límite, no importa que suceda en .

Figura 2

Ejemplo 7: Consideremos la función

siendo un número real, se tiene que

, para todo en el plano.

En efecto. Sea un número real positivo arbitrario pero fijo. Entonces, escogiendo se tiene que

independientemente del tomado.

Ejemplo 8: Consideremos la función

Entonces

, para todo en el plano.

En efecto. Sea un número real arbitrario pero fijo. Entonces, escogiendo se tiene que si

y ,

entonces

Viendo el ejemplo 8 podríamos caer en la tentación de pensar que evaluar un límite consiste solo en evaluar la función en el punto, esto será cierto solo si la función estudiada es continua en el punto hacia el cual nos acercamos con el límite. En el siguiente ejemplo nos daremos cuenta que no siempre podremos evaluar la función en el punto.

Ejemplo 9: La función

no está definida en el origen, pero

existe y es igual a 0.

En efecto. Tomando en cuenta las siguientes desigualdades:

, ,

se sigue que para cualquier dado, existe , tal que si , entonces

Pueden ocurrir casos en que nos interese evaluar el límite en puntos frontera del dominio, ya sea que este sea un conjunto abierto o cerrado. En estos casos estableceremos la siguiente definición.

1.3.1.1 Definición: Diremos que es el límite de una función cuando tiende al punto y escribiremos

si para cada existe un tal que

Observación: .

Ejemplo 10: Calcular .

Solución: En este caso es claro que el dominio de la función es el conjunto cerrado formado por el I y III cuadrante del plano (ver Figura 3).

Figura 3

Por otro lado,

escogiendo , se sigue que si

entonces

, para todo ,

Es decir,

= 0.

1.3.2 Límites direccionales: Para ganar intuición acerca del posible valor que pueda tomar el límite de una función en un punto dado, podemos evaluar dichos límites a través de trayectorias o curvas que pasen por el punto en el cual estamos evaluando el límite. Así por ejemplo, para evaluar un límite en , nos podemos acercar al origen a través de rectas de la forma , siendo un número real, a través de parábolas que pasen por el origen o a través de cualquier curva que pase por el origen.

Los límites evaluados a través de rectas son llamados límites direccionales.

Ejemplo 11: Verifique que

usando límites direccionales.

Solución:

Acerquémonos al origen a través de rectas de la forma , con un número distinto de cero. Entonces el límite que nos queda es en una variable;

independientemente de cual sea el valor de . Esto nos hace suponer que si el límite buscado existe, entonces es igual a 0.

Ejemplo 12: Verifique que

usando límites a lo largo de curvas.

Solución:

Al acercarnos al origen a través de curvas de la forma , con distinto de cero y (es claro que el origen pertenece a todas las curvas que tienen esa forma). Entonces nuestro límite nos queda expresado así:

independientemente de los valores de y de . Esto nos hace suponer que si el límite buscado existe, entonces es igual a 0.

Ejemplo 13: Verifique que

usando límites iterados.

Solución:

Otra forma de ganar intuición acerca del valor de un límite es usar límites iterados. Esto consiste en evaluar primero el límite respecto a una variable y luego respecto a otra variable. Para nuestro ejemplo queda:

y por otro lado,

Esto nos hace suponer que si el límite buscado existe, entonces es igual a 0.

Dentro de poco, vamos a ver que sucedería si al acercarnos a un punto dado a través de dos trayectorias diferentes, obtenemos valores distintos. Para ello necesitamos algunas de las propiedades fundamentales de los límites que damos a continuación:

1.3.3 Propiedades de los límites de funciones de varias variables.

Las siguientes proposiciones se dan sin demostración pues demostrarlas es un trabajo sencillo que se puede realizar como un ejercicio.

1.3.3.1 Proposición (unicidad del límite). Si el límite en un punto de una función de varias variables existe, entonces éste es único.

1.3.3.2 Lema: Si al evaluar el límite en un punto de una función de varias variables a través de dos caminos distintos o dos direcciones distintas(que pasen por el punto), obtenemos dos valores distintos, entonces el límite no existe.

Observación: El lema anterior no es más que una generalización de un resultado dado para los límites laterales de funciones de una variable.

Ejemplo 14: La función

no tiene límite en el origen. En efecto. está definida en todo el plano , excepto en el origen. Si evaluamos el límite a través de la recta , obtenemos

mientras que si lo evaluamos a través de la recta y=0, obtenemos

Por lo tanto, el límite en el origen no existe.

1.3.3.3 Proposición (álgebra de límites). Sean dos funciones tales que

y .

Entonces:

a) .

b) .

c) Si , entonces .

1.3.4 Cálculo de límites

A continuación se resolverán algunos límites de funciones de varias variables.

Ejemplo 15: Calcular, si existe, el siguiente límite

Solución: Para averiguar cual es el valor del límite, usaremos límites iterados.

Como sospechamos que el límite existe, entonces procedemos a demostrarlo formalmente. Sea un número dado. Entonces, tomando

se tiene que

de donde

Ejemplo 16: Usando el algebra de límites, calcular

Solución: Para averiguar cual es el valor del límite, usaremos límites iterados.

Como sospechamos que el límite si existe, entonces procedemos a demostrarlo formalmente. Con este fin, aplicaremos la propiedad de suma de límites, demostrando primero el límite en (1,3) de y luego el límite de . Sea .