(Cálculo 30. Sección 06. Semestre B2004. Profesor Richard Rosales.)
Apuntes de Cálculo 30
Sección 2.2
Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz.
2.2.1 Función derivada parcial de primer orden.
En la sección anterior se definieron las derivadas parciales en un punto de funciones de dos variables, a través de los límites
(1) 
(2) 
Cada uno de los límites (1) y (2) son límites en un punto. Pero es posible que estos límites estén definidos en un conjunto de puntos del plano. Consideremos entonces el conjunto de puntos del dominio de la función en el cual existe el límite (1) y el conjunto de puntos del dominio de la función en el cual existe el límite (2). Estos conjuntos serán los dominios de dos funciones reales de variable real, llamadas derivadas parciales. Escribamos la definición.
2.2.1.1
Definición (función derivada parcial
con respecto a x). Sea f una función
real definida en un conjunto 
. Sea 
el
conjunto de puntos 
en los cuales existe el
límite
.
La función
definida por
es llamada derivada parcial de f con respecto a x.
2.2.1.2
Definición (función derivada parcial
con respecto a y). Sea f una función
real definida en un conjunto . Sea el
conjunto de puntos en los cuales existe el
límite
.
La función
definida por
es llamada derivada parcial de f con respecto a y .
Ejemplo 1. Calcular las funciones derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) 
b) 
c) 
.
Solución. Como lo hicimos en la sección anterior, vamos a calcular las derivadas parciales derivando la función con respecto a una sola variable, dejando fija la otra.
a) El dominio de f es todo el plano.
.
Así,
,
para todo punto del plano. Por otro lado,
.
Así,
,
para todo punto del plano.
b) El dominio de f es todo el plano.
.
Así,
,
para todo punto del plano.
.
Así,
,
para todo punto del plano.
c) El dominio de f es todo el plano.
.
Así,
,
para todo punto del plano. Por otro lado,
.
Así,
,
para todo punto del plano.
2.2.2 derivadas parciales de orden superior.
Teniendo en cuenta que las derivadas parciales son funciones reales de variables reales, podemos preguntarnos si existen las derivadas parciales de las derivadas parciales. Si existen, estas serán las derivadas parciales de segundo orden. Luego derivando estas últimas funciones con respecto a x y con respecto a y, obtenemos las derivadas parciales de tercer orden y de manera análoga podemos obtener las derivadas parciales de orden superior.
Notación: Las derivadas parciales de segundo orden se denotarán de la siguiente forma
Las dos últimas derivadas parciales de la lista anterior son llamadas derivadas parciales cruzadas de orden dos.
Las derivadas parciales de orden tres se denotarán de la siguiente forma
Ejemplo 2 Encontrar las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones.
a)
b)
c)
Solución:
a) Para comenzar, busquemos las derivadas parciales de primer orden. Tenemos así lo siguiente
Luego, calculemos las derivadas de segundo orden
Note que en este caso se verifica que las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son iguales.
b) Para comenzar, busquemos las derivadas parciales de primer orden. Tenemos así lo siguiente
Luego, calculemos las derivadas de segundo orden
Note que en este caso se verifica que las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son iguales.
c) Para comenzar, busquemos las derivadas parciales de primer orden. Tenemos así lo siguiente
Luego, calculemos las derivadas de segundo orden
Note que en este caso se verifica que las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son iguales.
El hecho de que las derivadas parciales cruzadas sean iguales, obedece a la propiedad de continuidad estas funciones. Esto lo hace notar el siguiente teorema, el cual nos permitirá ahorrar trabajo a la hora de calcular derivadas parciales de orden superior.
2.2.3 Teorema (de
Schwarz) Suponga que f es una función
real que está definida en un entorno 
de un punto 
en
el plano 
. Si las derivadas parciales
,
y
existen
en y
además y son continuas en ,
entonces 
.
2.2.4 Lema Suponga
que f es una función real que está definida en un entorno de
un punto en el plano . Si
las derivadas parciales y existen
en y
además es continua en ,
entonces la derivada parcial existe y .
Ejemplo 3 Considere la función 
. Calcular 
y 
Solución.
En virtud de la continuidad de las funciones anteriores, se sigue del teorema de Schwarz, que
.
Ejercicios:
1) Calcular las derivadas parciales cruzadas de segundo orden en el origen, de la función
,
2) Calcular las derivadas parciales cruzadas de segundo orden en el origen, de la función
