Cálculo 40
Programa de Cálculo 40
Unidad 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.- Orden, grado, solución general y particular. Ecuaciones de primer orden: Variables separables, cambio de variables y reducibles a separables.
- Ecuaciones diferenciales homogéneas y reducibles a homogénea, exactas y reducibles a exactas, factor integrante, ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
- Ecuaciones Clairaut y Lagrange com casos particulares de las resolubles en y.
- Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden reducibles a primer orden. Ecuaciones de orden superior reducibles en y, en x y en dy/dx.
- Aplicación de las ecuaciones diferenciales en el cálculo de envolvente y trayectorias ortogonales. Problemas de crecimiento y decaimiento, las leyes de movimiento de Newton, la Ley de Kirchoff, flujo de calor estacionario, cohetes, el cable colgante, problemas de gometría y de física que involucran geometría, deflección de vigas y otros.
- Ecuaciones diferenciales de orden superior. Propiedades. Ecuaciones homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Solución general. Condiciones para la existencia y la unicidad de la solución. Problema con valores iniciales.
- Ecuación característica, raíces reales, raíces complejas, raíz doble.
- Operadores diferenciales. Ecuaciones lineales homogéneas de orden n. Ecuaciones lineales homogéneas de orden n con coeficientes constantes. Ecuaciones lineales no homogéneas, método de los coeficientes indeterminados.
- Reducción de orden, ecuaciones de Euler-Cauchy. Variación de parámetros.
- Modelos con Ecuaciones diferenciales. Movimientos vibratorios de sistemas mecánicos: movimiento armónico simple, sobre amortiguado y críticamente amortiguado. El resorte con fuerzas externas y el fenómeno de resonancia. Problemas de circuitos eléctricos, problemas sobre el péndulo simple. Oscilaciones libres.
- Sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes, propiedades, valores propios, soluciones fundamentales, método matricial, principio de superposición
- Método de los operadores. Sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales de primer orden.
- Sistemas lineales homogéneos: valores propios reales, valores propios complejos y valores propios repetidos.
- Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales.
- Definición de una sucesión. Criterios de convergencia. Sucesión de Cauchy.
- Series numéricas, concepto, sumas parciales. Series de términos positivos. Criterios de convergencia: Comparación.
- Series telescópicas, series geométricas.
- Criterio de Cauchy, criterio de D'Alembert.
- Criterio de la intregral, criterio de Pringsheim.
- Serie de términos positivos y negativos, serie alternada. Teorema de Leibnitz. Convergencia absoluta y condicional.
- Series de funciones. Desarrollo de Taylor y Maclaurin. Serie de potencias. Fórmula del binomio.
- Derivación e integración de series. Aplicaciones de los desarrollos en serie para la evaluación de límites e integrales. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando serie de potencias.
- Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales. Condiciones de contorno de Dirichlet y de Neumann.
- Método de separación de variables.
- Series trigonométricas, series de Fourier en forma real y compleja.
- Ecuación de Laplace, ecuación del calor, ecuación de onda.
- Solución formal de ecuaciones en derivadas parciales.
- Resolución de problemas térmicos estacionarios. Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones, la cuerda vibrante.
- Problemas de potencial eléctrico o gravitacional
- Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica. Tercera edición.
- Edwards & Penney. Ecuaciones diferenciales. Editorial Prentice Hall
- Carlos Gajardo. Sucesiones y series. Universidad de Los Andes
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