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Capítulo 3. Aplicaciones Lineales. |
1. Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales.
| a) T : R3 ————→ R3 . T( x, y, z) = ( x - 2 y, x, z +3 )
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b) T : R3 ————→ R3 . T( x, y, z) = ( x - 2 y, x, z +5 y)
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c) T : R3 ————→ R2 . T( x, y, z) = ( x - 2 y, x2 )
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d) T : R3 ————→ R . T( x, y, z) = x y z.
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e) T : R2 ————→ R3 . T( x, y) = ( x + y, x -y, 2x ).
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2. Sea la matriz
Demuestre que la aplicación TA : R2 ————→ R3 . dada por TA ( X ) = A X es lineal. Hallar la imagen de los vectores v = ( 8, 15 ) y u = ( -1, -4 ) . ¿ Cuál es la imagen de v + u ? ¿ Cuál es la imagen de 4v - 5u?
3) Sean las aplicaciones
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T : R2 ————→ R3 . T( x, y) = ( x + y, x -y, 2x ).
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S : R3 ————→ R3 . S( x, y, z) = ( x + y, x -y, 2x + z ).
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Hallar S o T . Demuestre que esta composición es lineal. Calcule la imagen de los vectores u = ( 1, 4) y v = ( -3, -3).
4. Hallar una aplicación lineal F de R2 en R2, tal que F ( 0, 1 ) = ( 4, -6) y F (1, 0 ) = ( -2, 1 ). Halle F en forma matricial.
5. Hallar la composición de la aplicación anterior con la aplicación G( x, y) = ( x -2y, x + y) . Hallar la matriz asociada a G.
Sea H = F o G . ¿ Cómo se expresa H en términos de matrices? Determine si G tiene inversa. ¿ Cómo es la matriz de la aplicación inversa? ¿Qué relación existe entre ambas matrices?
6. Sea F: R4 ————→ R3 la aplicación lineal definida por:
F( x, y, z, t ) = ( x + 2y + z , 2x +5 y - 4s, x + 4y + 5 z - 2s) .
Hallar la representación matricial de F. Determine si F es inyectiva ¿ Es F sobre ?
7. Sea G : R4 ————→ R4 la aplicación lineal dada por la matriz
Hallar la imagen de un vector v ( x, y, z, u ). Hallar la imagen de u = ( 1, -1, 2, 4).
Imagen y Núcleo de las aplicaciones lineales.
6. Sea F: R4 ————→ R3 la aplicación lineal definida por:
F( x, y, z, t ) = ( x + 2y + z , 2x +5 y - 4s, x + 4y + 5 z - 2s) .
a) Hallar el núcleo de F.
b) Hallar una base y la dimensión del núcleo.
c) Hallar una base de la imagen de F.
d) Hallar la dimensión de la imagen.
7. Sea G : R3 ————→ R3 la aplicación lineal definida por la matriz.
Hallar una base y la dimensión del núcleo de G. Hallar una base y la dimensión de la imagen.
8. Consideremos la aplicación matricial A : R3 ————→ R3 , con A la siguiente matriz.
Hallar una base y la dimensión de la imagen y el núcleo de A.
9. Hallar una aplicación lineal A : R3 ————→ R4 , donde los transformados de los vectores básicos son
u = ( 1, 2, -2, 5 ) , v = ( 0, 0, 3, -1) y t =( 1, 0, 1, -3).
10. Verificar que en cada una de las aplicaciones lineales de los problemas 6-9 se cumple la relación
Dim V = dim imagen L + dim Núcleo de L,
siendo L : V ————→ W.
11. Demuestre que el espacio vectorial de las matrices 2x2 con coeficientes reales es isomorfo a R4 .
12. Demuestre que el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ 3, es isomorfo a R4 .