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Distribuciones de carga
y Campo eléctrico
El descubrimiento del electrón
fue posterior al trabajo de Coulomb. La noción de carga, anterior
al descubrimiento de la cuantización de la carga, era una especie
de fluido continuo. Para muchos propósitos podemos pensar en una
densidad de carga sin preocuparnos mucho sobre la cuantización.
La justificación para este tratamiento es que la carga fundamental
es muy pequeña, de tal forma que a escala macroscópica ésta
puede considerarse como un cuasi-continuo. Esto resulta útil para
desarrollar las herramientas que nos permiten entender las distribuciones
continuas de carga, haciendo uso sistemático del principio de superposición.
El Campo Eléctrico
La fuerza eléctrica es un ejemplo
de acción a distancia. Para entender esto vamos a definir el Campo
Eléctrico. Una carga produce un campo eléctrico
en todo el espacio, y este campo ejerce una fuerza sobre otras cargas.
El campo neto, como la
fuerza neta, se calcula mediante el
principio
de superposición. Puesto que la fuerza es una cantidad vectorial,
el campo eléctrico también lo es. Así E es
un campo vectorial. El concepto de campo parece sutil, y lo es. Es muy
importante en muchas áreas de la física, y va más
allá de la definición de campo eléctrico.
Consideremos un conjunto de cargas
en posiciones fijas. Si colocamos una carga de prueba q0 en
la vecindad de este conjunto, la carga de prueba experimentará una
fuerza. Esta fuerza es la suma vectorial de las fuerzas producidas por
cada carga sobre la carga de prueba, y todas estas fuerzas son directamente
proporcionales a q0. En consecuencia, la fuerza total es directamente
proporcional a q0, y la razón F/q0
es independiente de q0. Esta razón, la fuerza por unidad
de carga, es el Campo Eléctrico.
La unidad internacional de campo eléctrico es el N/C.
El campo eléctrico se puede
pensar como un intermediario entre las cargas
carga<===>campo<===>carga.
Una carga (o sistema de ellas) establece
un campo eléctrico, y otra carga (o conjunto de cargas) interactúa
con el campo eléctrico de la primera.
Principio de superposición
para el Campo Eléctrico
La fuerza de Coulomb obedece
al principio de superposición. La definición de campo eléctrico
requiere que ésta obedezca a la siperposición también,
puesto que es proporcional a la fuerza neta sobre la partícula.
Así, si tenemos un conunto de cargas q1, q2,
q3,..., qN entonces el campo eléctrico en
la posición r debido a la carga i-ésima es Ei,
y el campo total es
E(r)=E1+E2+E3+...+EN.
Dependiendo de la distribución
se pueden encontrar puntos "muertos" donde el campo eléctrico se
anula. ¿Piensas que estos puntos de
equilibrio son estables o inestables?
Así,
si las N cargas están localizadas por los vectores ri,
podemos escribir el campo eléctrico resultante en el punto de observación
localizado por el vector r, como
E(r)=q1(r-r1)/|r-r1|3
+...+
qN(r-rN)/|r-rN|3.
Si las cargas son
tan pequeñas y tan numerosas que pueden describirse por una densidad
de carga, la suma se puede reemplazar por la integral de
dq'(r-r')/|r-r'|3,
donde r'
representa ahora al vector posición del elemento de carga dq'. Dependiendo
de la distribución de carga el elemento de carga se escribirá
en términos de una densidad volumétrica de carga, superficial
o lineal, y de elementos de volumen, superficie o línea, respectivamente.
El dipolo eléctrico
Un ejemplo importante de superposición
es el dipolo eléctrico. Es definido como dos cargas iguales pero
de signos opuestos, separadas por una distancia pequeña. La carga
neta del dipolo es cero, por esta razón lejos del dipolo no esperamos
que el campo eléctrico tenga la dependencia 1/r2 del
campo coulombiano. En efecto, se puede demostrar fácilmente que
la dependencia radial del campo eléctrico alrededor de un dipolo
es 1/r3. Este decrecimiento en magnitud es mas rápido
que el campo coulombiano correspondiente a cada carga puntual, puesto que
este tiende a cancelarse, como esperamos. En general, cualquier distribución
de cargas puede "separarse" en desarrollos multipolares (serie de potencias
de 1/r); el primer y segundo términos corresponden al monopolo (i.e.
la carga neta) y al dipolo. Los términos siguientes son los cuadrupolares,
octopolares, etcétera. Un dipolo "puro" es un conjunto de dos cargas
sin carga neta. De igual forma, un cuadrupolo puro es un conjunto que no
pesee dipolo. ¿Puedes imaginar cómo
luciría esa bestia?
Posición de equilibrio
en un sistema de cargas
El siguiente problema ilustra la dificultad
para encontrar el equilibrio estable en un sistema de cargas: Tres cargas
de igual magnitud q se encuentran fijas en los vértices de un triángulo
equilatero. Una de las cargas es negativa y las otras dos positivas. Una
cuarta carga Q se puede mover libremente a lo largo de la línea
perpendicular y que bisecta a la línea que une a las dos cargas
positivas bajo la acción de las fuerzas que ejercen las tres cargas
fijas. Localice la posición de equilibrio
para Q.
Líneas del campo
eléctrico
Recordando la definición de campo
eléctrico para una carga puntual, podemos visualizar las líneas
del campo eléctrico muy fácilmente. Por ejemplo, si la carga
es positiva el campo está dirigido radialmente hacia afuera de la
carga
,
mientras que si la carga es negativa el
campo eléctrico está dirigido radialmente hacia la carga
.
Las líneas de campo fueron introducidas
por Michael Faraday para ayudar a visualizar la dirección y magnitud
del campo eléctrico. La dirección del campo en cualquier
punto está dada por la dirección de la línea de campo,
mientras que la magnitud del campo está dada cualitativamente por
la densidad de líneas del campo. En los diagramas anteriores se
muestran los ejemplos más sencillos donde el campo es esféricamente
simétrico. La dirección es aparente en las figuras. En la
carga puntual, las líneas de campo convergen de tal forma que la
densidad es alta -la densidad escala en proporción al inverso de
la distancia al cuadrado, como lo hace el campo. Como es aparente en los
diagramas, las líneas del campo comienzan en las cargas positivas
y finalizan en las cargas negativas. Todo esto es una convención,
pero útil para recordar.
La siguiente figura muestra las líneas
de campo para un dipolo eléctrico
.
Esta figura muestra algunos conceptos
útiles. Por ejemplo, cerca de las cargas puntuales (esto es, a una
distancia que es pequeña comparada con su separación), el
campo es esféricamente simétrico. Esto tiene sentido -cerca
de la carga, el campo de esa carga ciertamente debe dominar el campo eléctrico
neto puesto que es muy grande. La naturaleza no esférica del campo
se puede visualizar fácilmente en el diagrama.
En general, las líneas del campo
siguen las siguientes reglas:
-
Comienzan en las cargas positivas y terminan
en las cargas negativas, o en el infinito;
-
Se dibujan simétricamente saliendo
o entrando a las cargas;
-
El número de líneas que
entran o salen de una carga es proporcional a la magnitud de la carga;
-
La densidad de líneas en cualquier
punto (el número de líneas por unidad de longitud perpendicular
a las líneas mismas) es proporcional a la magnitud del campo es
ese punto;
-
A grandes distancias del sistema de cargas,
las líneas del campo están igualmente espaciadas y radiales
como si ellas provinieran de una carga puntual de igual magnitud a la carga
neta del sistema (si la tuviera);
-
Dos líneas de campo no se pueden
cruzar puesto que la magnitud y dirección del campo deben ser únicas.
Una carga puntual en un
campo eléctrico (lectura)
Dipolo en un campo eléctrico
(lectura)
Problemas a resolver en el aula:
-
Campo eléctrico en el exterior
e interior de una esfera maciza uniformemente cargada;
-
Campo eléctrico en el exterior
e interior de un cascarón esférico uniformemente cargado;
-
Campo eléctrico producido por una
hoja infinita uniformemente cargada;
-
Campo eléctrico producido por una
línea infinita y uniformemente cargada;
-
Campo eléctrico sobre el eje de
un anillo uniformemente cargado;
-
Campo eléctrico sobre el eje de
un disco uniformemente cargado.
Física
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