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Estancamiento y nuevos logrosLlega el siglo XIX y el U.T.F estaba consagrado como el
problema más Notable de la Teoría de los Números; desde Euler no se había
anunciado ningún progreso, hasta que una joven francesa Sophie Germain le dá un
nuevo vigor, en la búsqueda de la prueba de U.T.F. Sophie Germain (1776-1831): nació 1 de abril de 1776; fue totalmente motivada por vida de Arquímedes, sobre todo la historia de su muerte; dice Singh "Germain concluyó que si alguien podía estar tan absorto en un problema geométrico y que ello le causara la muerte, entonces las matemáticas tenían que ser la materia más cautivante del mundo". Estudió Teoría de los Números y trabajó el U.T.F durante varios años y cuando pensó que tenía algo grande tenía que discutirlo por lo "'alto" y consultó al más grande de los matemáticos de la época: "Carl Friederich Gauss".
Sophie Germain (1776-1831) Germain había estudiado la obra de Gauss (no publicó nada
sobre el U.T.F) 75 años antes de la carta de Germain a Gauss, Euler publicó el
U.T.F para el caso n = 3. Desde entonces nadie pudo probar otros casos
particulares. Germain (no quería probar casos particulares) escribió a
Gauss lo que ella llamaba una aproximación general al problema, Germain adoptó
la estrategia: sea p primo y (2p+1) también primo. Los primos de Germain
incluyen al 5, pero no al 13 (pues 27 no es primo). Para los valores de n
iguales a estos primos, Germain utilizó un refinado método para probar que
probablemente no habían soluciones a la ecuación
xn + yn = zn. 1825 Dirichiet-Legendre (franceses)
utilizaron el método de Germain y de manera independiente probaron el caso n
= 5 no tiene soluciones. 1839 Gabriel Lamé (1795-1870)(francés),
agregó algunas técnicas ingeniosas al método de Germain y probó el caso n = 7. (Germain
había aportado cómo descartar un sector completo de casos de números primos).
Después de los avances de Germain la Academia Francesa ofreció una serie de premios: una medalla de oro y 3000 francos para el que probara el U.T.F. En 1847 la Academia Francesa comenta Singh: "celebró la reunión más dramática de su historia", Gabriel Lamé anunció a la comunidad matemática que estaba a punto de probar el U.T.F, y que en pocas semanas entregaría una versión completa de la prueba. Entre los matemáticos de esta reunión estaba Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), el cual pidió la palabra y anunció que él también tenía prueba del U.T.F y que estaba apunto de publicarla. Y 3 semanas después tanto Lamé como Cauchy entregaron unos sobres sellados a la Academia.
El 24 de mayo de 1847 se terminó la especulación; Joseph Liouville dirigió a los presentes en la Academia para leer una carta del matemático Ernst Kummer (1810-1893), las pruebas dadas por Lamé y Cauchy utilizaban una propiedad conocida como "factorización única" (hoy llamado Teorema Fundamental del Álgebra); y este no es válido para los números imaginarios utilizados por Lamé y Cauchy y por lo tanto este era un error fatal. Pero no todo era un desastre, Kummer probó que utilizando técnicas adicionales era posible utilizar la factorización única para dar la prueba del U.T.F para algunos valores de n; y así se pueden probar los casos hasta n = 31, no así el caso n = 37, n = 59 y n = 67.
En concreto, Kummer probó que con las herramientas
matemáticas existentes para la época era imposible demostrar completamente el
U.T.F, menciona Singh: "su argumento era una pieza brillante de lógica
matemática, pero un duro golpe a una generación de matemáticos que habían
abrigado la esperanza de resolver el problema matemático más difícil del mundo".
Por más de 2 siglos cualquier intento por probar el U.T.F fue un fracaso. |
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