Matemáticas 40
Programa de Matemáticas 40
Unidad 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias.- Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Origen de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden, grado, solución general y particular. Ecuaciones de primer orden: Variables separables, cambio de variable y reducibles a la forma separable. Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas. Diferenciales lineales de segundo orden reducibles a primer orden. Ecuaciones de orden superior reducibles resolubles en y, en x y en dy/dx. Aplicaciones: Envolventes y trayectorias ortogonales y sus aplicaciones. Las leyes del movimiento de Newton, la Ley de Kirchoff, a la química y las mezclas químicas, flujo de calor de estado estacionario, problemas de crecimiento y decaimiento, cohetes, el cable colgante, problemas de geometría y de física que involucran geometría deflexión de vigas y otros.
- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden superior. Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de orden superior: propiedades. Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Ecuaciones homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Solución general. Problemas con valor inicial. Raíces reales, raíces complejas, raíz doble de la ecuación característica. Operadores diferenciales. Ecuaciones lineales homogéneas de orden arbitrario. Ecuaciones lineales homogéneas de cualquier orden con coeficientes constantes. Ecuaciones lineales no homogéneas y el método de coeficientes indeterminados. Reducción de orden y ecuaciones de Euler-Cauchy. Variación de parámetros. Aplicaciones: Movimientos vibratorios de sistemas mecánicos, movimiento armónico simple, sobre amortiguado y críticamente amortiguado, el resorte con fuerzas externas y el fenómeno de resonancia mecánica. Problemas de circuitos eléctricos. Problemas sobre el péndulo simple. Oscilaciones libres.
- Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes, propiedades, valores propios, soluciones fundamentales, método matricial, principio de superposición. Método de los operadores. Sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Sistemas lineales homogéneos, valores propios reales, valores propios complejos y valores propios repetidos.
- Concepto de sucesiones. Sucesión de Cauchy. Series: concepto, la suma de una serie, ejemplos de estudios directos. Series de términos positivos. Criterios de convergencia, integral, comparación, Pringsheim, Dâlembert, Cauchy, serie de términos positivos y negativos, serie alternada, Teorema de Leibnitz, Convergencia absoluta y condicional.
- Serie de funciones. Desarrollo de Taylor y Mac-Laurin, serie de potencias. Fórmula del binomio. Series de Fourier.
- Definiciones. Clasificación. Método de separación de variables. Ejemplos: Ecuación de onda y de difusión (calor) de una y dos dimensiones, ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares y polares. Aplicaciones: Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones, la cuerda vibrante. Problemas que involucran conducción o difusión de calor.
- Definición. Propiedades de la transformada de Laplace. Obtención de las transformadas de Laplace mediante tablas. Obtención de la transformada inversa de Laplace. Método de las fracciones parciales. Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales utilizando la transformada de Laplace. Matriz de Convolución.
- Edwards & Penney. Ecuaciones diferenciales. Editorial Prentice Hall
- Carlos Gajardo. Sucesiones y series. Universidad de Los Andes
- Hirschman, I. Infinito series. Holt, Richard and Wuiston. New Cork, 1962.
- Sokolnikoff, I.S. Rodheffer, R.M. Mathematics of physiscs and modern engineering. McGraw-Hill. New Cork, 1966.
- Kreyszing, Edwin (2011). Advanced Engineering Mathematics. 10 th edition. Wiley Plus
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