4.1. Sucesiones de Cauchy
 

En esta sección estudiaremos algunos conceptos y propiedades básicas de las sucesiones en los espacios métricos. En primer lugar, daremos una interpretación completamente distinta del concepto de clausura y continuidad en un punto, a través de las sucesiones.

Como siempre, estaremos trabajando dentro de un espacio métrico ( M, d). Recordemos que una sucesión en M es una secuencia infinita de puntos de M, o más precisamente, una función de los números naturales

f : ℕ ———→ M,

donde la imagen f (n) será denotada por x n .

El conjunto de las imágenes se denota por {x n }n≥1 .  Por abuso de notación, usamos este mismo símbolo para representar a la sucesión.

Es posible dar una caracterización de los puntos de clausura de un conjunto, mediante sucesiones. Recordemos que si A es un subconjunto de M, entonces un punto a de M se llama punto de clausura de A, si para todo r > 0, la bola abierta B (a, r) contiene puntos de A. Podemos construir una sucesión de puntos de A, cuyo límite sea precisamente a. En efecto, para cada valor de n , número natural, la bola abierta B ( a, 1/n) contiene un punto de A. Si llamamos a este punto x n, entonces se tiene que

x n Î B ( a, 1/n)  ∩ A , o bien  d ( a, x n  ) < 1/n

Entonces, es fácil probar que

Por otra parte, si {x n }n≥1   es una sucesión de puntos de A que converge hacia a, entonces a debe ser un punto de clausura. Si esto no es cierto entonces, existe un número real r >  0, tal que la bola abierta B( a, r) no contiene puntos de A. Pero sabemos que, usando la definición de límite de una sucesión, debe existir un entero natural, N0 , tal que la bola B( a, r) contiene todos los puntos de la sucesión  x n a partir de N0. Esto, por supuesto, es una contradicción. Hemos entonces probado la siguiente proposición

Proposición 1. Sea ( M, d) un espacio métrico y A un subconjunto de M, entonces el punto a pertenece a la clausura de A, sí y sólo si, existe una sucesión de elementos de A que converge a a.

Viejas definiciones renovadas

Los puntos de clausura de un conjunto A se dividen en dos tipos: Puntos aislados y puntos de acumulación. Recordemos que: 

Un punto x de A es punto aislado, si existe una bola abierta B( x, r) tal que: B ( x, r)  ∩ A = {x}

Ejemplo: Si A = [0, 2 ]  ∪ {7, 9}, entonces los únicos puntos aislados son 7 y 9.

mientras que

Un punto x de A es punto de acumulación, si para todo r >0,  la bola abierta B( x, r) satisface 

B ( x, r)  ∩ A \ {x} ≠ Æ

Ejemplo:  Si A = (0, 1), entonces 0 es punto de acumulación de A, pues la sucesión  x n= 1/n , converge a 0 y además ella está contenida en A.

Con estas nuevas definiciones podemos dar una caracterización de los conjuntos cerrados en términos de sucesiones. Recordemos que si F es un conjunto, entonces la clausura del mismo se define como el conjunto de todos los puntos de clausura y esto se denota por F. También, un conjunto F era cerrado si F = F. Luego se tiene

Sea (M, d) un espacio métrico y F un subconjunto de M. Entonces F es cerrado en M, si para cualquier sucesión

{ x n} en F que converge a x , se tiene que  x pertenece a F.

Ejemplo: El conjunto F = ( 0, 2] no es cerrado, pues la sucesión x n= 2/n está en F, converge a 0 y 0 no pertenece a F.

 

Recordemos que una función  entre espacios métricos, f : M ——→ N, se dice continua en un punto x 0, si para todo ε >  0, existe un  δ> o, tal que  d ( f( x) , f( x0 )) < ε , si d ( x, x 0) < δ . Por otro lado, si { x n } es una sucesión de elementos de M que converge a x 0, entonces, dado este δ> o, existe un N 0, tal que d (  x n, x 0) < δ, y por lo tanto d ( f(  x n ) , f( x0 )) < ε  . Es decir, la sucesión de las imágenes { f(  x n ) } converge al punto  f( x0 ).

Recíprocamente, si para toda sucesión { x n }de M que converge a  x 0, la sucesión de las imágenes { f(  x n ) } converge al punto  f( x0 ) , entonces f debe ser continua en el punto x0 .  Caso contrario, existe un ε >  0, para cual no existe ningún δ > o, que cumpla

d ( f( x) , f( x0 )) < ε ,      si d ( x, x 0) < δ , con  x en M.

Luego, para cada n  ≥1, podemos tomar a  δ = 1/n y entonces hay un punto x n  en la bola abierta B( x 0 , δ    ) , tal que

d ( f(  x n ) , f( x0 )) ≥ ε 

Entonces tendremos una sucesión { x n } que converge a x0  pero las sucesión de las imágenes { f(  x n ) }  no es convergente a f( x0 ).

 

Una función  f : M ——→ N, se dice continua en un punto x 0  sí y sólo si, para toda sucesión { x n } de elementos de M que converge a x 0, se tiene que la sucesión de imágenes { f(  x n ) } converge al punto  f( x0 ). 

Subsucesiones

Sea  { x n } una sucesión en un espacio métrico M. Sea I = { n 1 ,   n 2 ,  ....,  n k , ...}   un subconjunto infinito de números naturales ordenados en orden creciente, esto es n 1 <   n 2 <  ....,  n k  <  n k +1 <... Entonces una subsucesión de { x n } indizada por I, es la sucesión    { x  k }k ÎI  .

Ejemplo: De la la sucesión   x n = ( -1)n  , podemos extraer la subsucesión de los términos pares { 1, 1, 1, .....}

 

Sucesiones de Cauchy.

Sea (M, d) un espacio métrico, una sucesión { x n } se dice sucesión de Cauchy, si para todo ε >  0, existe un  N > o, tal que d ( x n ,  x m ) < ε ,  si n , m ≥ N.

 

Ejemplo 1. Toda sucesión convergente en un espacio métrico M, es de Cauchy. En efecto, si la sucesión { x n } converge a un límite  x0  en M, entonces, dado un ε >  0, existe un N > 0, tal que

d (  x n ,  x 0  ) <  ε /2 ,  para todo n > N.  En particular, para n y m mayores que N, se tendrá

 

d (  x n ,  x m  ) ≤ d (  x n ,  x 0  ) + d (  x m ,  x 0  ) <  ε /2 + ε /2.

Luego la sucesión es de Cauchy.

Ejemplo 2. Existen sucesiones que son de Cauchy, pero no son convergentes, por ejemplo la sucesión  x n = 1/ n  es de Cauchy en M = (0, 1] , pero no es convergente. (el límite que es igual a cero no es un elemento de M)

Página Principal                    Siguientes Ü