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Bolas abiertas, Bolas cerradas. Esferas.
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En un espacio métrico, M es necesario saber determinar con toda precisión el concepto intuitivo de aproximación entre sus puntos. Más precisamente, si a es un punto de M, y r es un número real ( el cual será casi siempre pequeño) , necesitamos saber cuáles puntos de M están a una distancia de a menor que r. Por tal motivo es conveniente definir conjunto de tales puntos, como la Bola abierta con centro en a y radio r, y esto lo denotamos por
B ( a, r) = { x en M / d ( x, a) < r }
En el siguiente dibujo, mostramos en el espacio métrico M = R2 una bola abierta con centro en a y radio r. El espacio está dotado con la métrica euclideana.
d( X, Y) = [ (x 1- y 1) 2+ (x 2- y 2) 2]½
donde X = ( x 1,x 2) y Y = ( y 1,y 2), son puntos de R2 .
También se pueden considerar los puntos que estén a una distancia de a menor o igual a r. Esto nos da otro conjunto, llamado la bola cerrada con centro en a y radio r ( también llamado el disco, por algunos autores). Usaremos las notaciones:
B [ a, r] = D (a, r) = { x en M / d ( x, a) ≤ r }
Finalmente, podemos considerar solamente aquellos puntos de M, que se encuentran a una distancia r de a, y esto nos dará un nuevo conjunto, llamado la esfera con centro en a y radio r.
S ( a, r) = { x en M / d ( x, a) = r }
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Bolas abiertas relativas Si A es un subespacio métrico de M, entonces la bolas abiertas en A serán las bolas abiertas de M interceptadas con A. Es decir, si x es un elemento de A, la Bola Abierta Relativa a A, con centro en x y radio r se define como BA ( x, r ) = B( x, r) ∩ A. Por ejemplo, si M es R , y A es el eje X, entonces la bola abierta relativa a A, con centro en x = ( 2, 0) y radio 1 es la parte del eje X de color azul.
De igual manera, se define la Bola cerrada relativa a A. BA [ x, r ] = B[ x, r] ∩ A.
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| ¿Bolas cuadradas? ! Qué bolas¡ ¿ Y entonces
como son las bolas....? En verdad las bolas pueden tener cualquier forma, en nuestro estudio de los espacios métricos, como se verá en un instante. Sin embargo, por comodidad, las dibujamos siempre redondas. No debemos preocuparnos por esto. Recordemos que un dibujo no es más que una representación pictórica de un concepto abstracto, que nos puede ayudar a conocer mejor los objetos de la matemática. Pero hay que tener mucho cuidado con estas representaciones, especialmente dentro del campo de la Topología, pues a veces nos conducen a resultados falsos. De cualquier manera seguiremos usando las representaciones gráficas, cuando sean productivas de nuevos conocimientos. Como siempre, cualquier demostración de un hecho importante dentro de la teoría, deberá ser desarrollada dentro de los métodos lógico-deductivos que se emplean en matemáticas. Si en R2, consideramos la distancia dada por la métrica d 1((x, y), ( z, u) ) = | z - x | +| u -y | . entonces la bola abierta centrada en el origen y radio r tiene la forma siguiente:
Si en R2, consideramos ahora la distancia dada por la métrica del producto d 2((x, y), ( z, u) ) = max {| z - x | , | u -y | }. Entonces la bola abierta con centro en el origen y radio r, tiene la siguiente forma:
Si B ( ( - π, π ), r) es el espacio métrico de las funciones acotadas de ( - π, π ) en R, con la métrica del supremo, entonces la bola abierta con centro en la función f( x) = sen (x) y radio 4 viene representada por una banda en el plano:
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Un conjunto A en un espacio métrico se llama conjunto acotado, si la distancia entre sus puntos no sobre pasa cierto valor. Más precisamente, A es acotado, si existe un número real c, tal que d ( x, y) ≤ c, para todo par de puntos x e y en A. Este número real c, se llama un acota superior para el conjunto. El diámetro del conjunto, se define como la menor de estas cotas superiores. Otra manera de expresarlo sería:
diámetro (A) = sup {d (x, y), con x e y en A }
Si A no es acotado, diremos que su diámetro es infinito ( diámetro (A) = ∞ )
Es claro que toda bola abierta es un conjunto acotado y su diámetro es igual al doble del radio. También se puede probar que todo conjunto acotado está contenido en una bola abierta ¿ Podrías dar una demostración?
Un punto a de un espacio métrico M se llama Punto Aislado, si existe una bola abierta, centrada en a, tal que ella sólo contenga al punto a. Es decir, existe un radio r > 0, tal que
B ( a, r ) Ç M = {a}
Por ejemplo, Si X es un conjunto cualquiera dotado de la métrica discreta, entonces todos los puntos de X son aislados ¿ Por qué?
Un espacio métrico M, donde todos los puntos son aislados, se llama Espacio Métrico Discreto :por ejemplo el espacio de los números enteros Z, con la métrica inducida por R es un espacio métrico discreto.