Propiedades fundamentales de la continuidad

en un espacio métrico

 

 

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Escuchemos parte de un diálogo entre un profesor y sus alumnos.

-Creo que conocemos con cierta propiedad las funciones continuas- dice el profesor

-Una función continua en el plano es una transformación que lo deforma como un chicle. Partiendo de una figura plana podríamos deformarla hasta llegar a otra.  Podría construir una función continua entre distintas figuras del plano - dice Luis.

Es posible hallar una función continua entre un cuadrado y un circulo - Asegura Pedro, pero yo no conozco la formula para definir dicha función.

-Recuerda Luis, que en la topología las formas de los objetos no son lo primordial. Lo importante son las propiedades topológicas. La continuidad va a preservar muchas propiedades topológicas de las figuras.- dice el Profesor.

-¿ Sería posible,- interroga Sonia-  hallar una función continua entre dos bolas del mismo radio, una abierta y la otra cerrada?

- Muy buena esa  pregunta jovencita! La respuesta es de imposibilidad! - dice el Profesor.

Supongamos que tenemos una función continua e inyectiva, del plano en el plano, que envía la bola abierta B (a ,r) en la bola cerrada B [a, r] ¿ Que principios o conceptos se estarían violando en esta situación? Veamos un dibujo

A la izquierda tenemos una bola cerrada B[ a , r]. A la derecha una bola abierta B( b, r) de igual radio. También hay una función que envía todos los puntos de la primera en la segunda. La pregunta es ¿ Puede ser f continua en todos los puntos de la primera bola?

¿ A donde enviamos los puntos de circunferencia? Si tomamos un punto x, en la frontera de la bola de la izquierda, entonces de acuerdo a la definición de continuidad, debería existir una pequeña bola  abierta B( x,  δ), cuya imagen cae dentro de la bola abierta de la derecha. Esto por supuesto es imposible, pues la función f  llevaría dentro de la bola de la derecha, algunos puntos del exterior de B[ a, r].

Veremos a continuación una serie de resultados que nos permiten ver con mayor claridad, la relación existente entre la continuidad y los conjuntos abiertos.

Propiedad 1. Si f es una continua de M en N y A es un abierto de N, entonces f -1(A) es abierto en M.

Esta propiedad es una simple consecuencia de la definición de continuidad. Si x está en f -1(A), entonces  f( x) se encuentra en A, el cual es abierto. Luego (Por la definición de abierto) existe una bola con centro en f( x) y radio  ε , tal que B( f( x),  ε) Í  f (A).

 

 

 

por se la función continua en x, existe una bola con centro en x y radio δ,  B (x,δ  ) tal que la función envía esta bola dentro de la bola B( f( x),  ε).

Luego como f ( B (x,δ  ) ) Í A, se  tiene que  B (x,δ  )  Í  f -1(A) y por lo tanto f -1(A)  es abierto.

 

Propiedad 2. ( Reciproca de la  anterior)  Si f es una función  de M en N y además se tiene que para todo A abierto en N, f -1(A) es abierto en M entonces f es continua.

Sea x un elemento de M y un  ε >0 dado.  La bola abierta B( f( x), ε)  está contenido en M. Como esta bola es un abierto, podemos aplicar la hipótesis para concluir que la imagen inversa  f -1( B( f( x), ε))   es un abierto de M. Nótese que x  Î  f -1( B( f( x), ε))  . Luego existe un valor de δ y una bola abierta B( x, δ ) contenida en  f -1( B( f( x), ε)) . Por lo tanto  f ( B( x, δ ) ) Í B( f( x), ε) . Esto, por supuesto, implica que f es una función continua.

Observación. No es cierto en general, que una función continua envía abiertos en abiertos. ¿ Puedes hallar un contraejemplo?

Una aplicación entre espacios métricos que envía conjuntos abiertos en abiertos, se llama  aplicación abierta

Aplicación 1.  Sean  π 1  : M1 x  M2 ——→ M1  π 1 ( x, y ) = x, y  π 2 :  M1 x  M2 ——→ M1

 π 2 ( x, y ) =  y , las proyecciones canónicas.  Entonces para cada abierto A de M1  se tiene que

π 1  -1  ( A )  = A x  M2   , es un abierto de M1 x  M2 ( con la topología del producto). Luego concluimos que  las proyecciones son continuas.

 

Propiedad 3. Sean f:  M ——→ N y g :  N ——→ S aplicaciones continuas ,

Im (f) Í Dom(g).

Entonces la composición g ₀ f es continua.

Esto es una consecuencia de lo anterior, pues si U es un abierto de S, entonces V = g-1 (U) es un abierto de N, por ser g continua. Por otra parte f -1( V) es un abierto de M, por ser f continua. Luego (g o f )-1  (U) es un abierto de M, y por lo tanto, g o f  es continua.

Aplicación 2: Sea f : M ——→ N1 x N2,   f (x) = ( g (x), h( x) ). Entonces si f es continua, g y h son funciones continuas. En efecto se tiene que  g =  π 1 o f  y  h = π 2 o f . Luego cada una de ellas es continuas porque las proyecciones son funciones continuas y la composición de funciones continuas es continua. El reciproco de este resultado también es cierto. Esto es, si g y h son continuas entonces la función f es continua. La demostración, que se puede hacer usando bolas abiertas, se deja como un ejercicio para el lector.

 

Propiedad 4. Sea f: M ——→ N entonces f es continua si y sólo si para todo F cerrado en N, se tiene que f -1(F) es cerrado en M.

Si F es cerrado, entonces N\ F es abierto y por lo tanto  f -1(N\F) es abierto. Pero Este conjunto es precisamente M \ f -1(F) . Luego f -1(F)  es cerrado. La segunda parte de la prueba se deja como ejercicio.

Propiedad 5. Sean  F1 , F2  , ... F n  cerrados no vacíos M,  f: M ——→ N

y para cada i, la restricción de f , f i : F i ———→ N es continua 

 y además F1  ∪F2  ∪ ... ∪F n   = M. Entonces f es continua en M.

 

Si F es un cerrado de N, entonces

como cada uno de los f i -1 (F) es un cerrado entonces f -1(F) es cerrado. Por la propiedad anterior se concluye que f es continua.

 

Aplicaciones lineales entre espacios normados

Para esta sección necesitamos ciertos conocimientos del Álgebra Lineal. Una aplicación lineal entre dos espacios normados M y N es una función  L : M ——→  N , la cual satisface

  1. L ( x + y ) = L( x) + L( y) , para todos x e y en M
  2. L( c x ) = c L( x), para todo x en M y c un escalar.

Como un caso particular, estudiaremos las aplicaciones lineales de R n en R m .

En primer lugar notemos lo siguiente:

Toda aplicación lineal  queda determinada al conocer las imágenes de los elementos de la base.

Para demostrar este hecho, notemos en primer lugar que en  R n , tenemos la base canónica formada por los vectores unitarios { e1 , e2 , ....., en }, donde e1 = ( 1,0,....,0), e2 = ( 0, 1,0,....,0), .....en = ( 0,0,....,0.1) y cada vector x =  ( x1 , x2 , ....., x n ) se representa como una combinación lineal de los elementos de la base

x = x1e1 + x2e2 + ···· + x n e n

Tenemos entonces

L (x) = L (  x1e1 + x2e2 + ···· + x n e n    ) =  x1 L (  e1  ) + x2 L (  e2  ) + ···· + x n L (  en  ) 

Ejemplo: Sea L :  R 2 ——→  R , la aplicación dada por L (   e1 )  = -2,  L (   e2  )  = 4. Hallar la imagen de cualquier vector x =  ( x1 , x2  ): Luego

L (x) = L (  x1e1 + x2e2   ) =  x1 L (  e1  ) + x2 L (  e2  ) = -2  x1 + 4  x2  .  

 Toda aplicación lineal L:  R n——→  R , es Lipschitziana  y por lo tanto continua.

En efecto, si   x =  ( x1 , x2 , ....., x n )   e  y =  ( y1 , y2 , ....., y n )   son dos vectores en  R n tenemos que

|| L (x) - L (y) || = || L (x - y) || = || L (  (x1 - y1 ) e1 +  (x2 - y2 ) e2  + ···· +(x n - y n ) en   ) ||

= ||   (x1 - y1 ) L( e1  )+  (x2 - y2 ) L ( e2  )+ ···· +(x n - y n )L( en   ) ||

Podemos entonces aplicar la propiedad de la desigualdad triangular de la norma, para obtener

|| L (x) - L (y) || ≤ || (x1 - y1 ) L( e1  ) || + || (x2 - y2 ) L( e2  ) || + ··· + || (x n - y n ) L( en  ) ||

= | L ( e1  ) |  || (x1 - y1 ) || + | L ( e2  ) |  || (x2 - y2 ) || + ··· +  | L ( en  ) |  || (x n - y n ) ||

Si hacemos ahora

|| L || =  Max {  | L ( e1  ) |  , ...., | L ( en  ) | }

se tendrá

|| L (x) - L (y) || ≤  || L || (  || (x1 - y1 ) || +  || (x2 - y2 ) || + ··· +    || (x n - y n ) || ) =  || L ||   || (x - y ) ||

Luego tenemos la relación fundamental para la aplicación lineal L

|| L (x) - L (y) || ≤  || L ||  || (x - y ) ||         (1)

lo cual nos dice que L es en efecto, una contracción débil.

Observación 1. La constante de Lipschitz  || L || , se llama la norma de la aplicación lineal L. La desigualdad (1) es equivalente a la desigualdad

|| L (x)  || ≤    || L ||   || x  ||         (2)

Para todo x en  R n .

Observación 2. La norma en el lado izquierdo de (2) corresponde al valor absoluto de números reales.

Toda aplicación lineal L:  R n——→  R m, es Lipschitziana y por lo tanto continua.

En efecto, tenemos que L = ( L 1, L2,      L m ) , donde cada una de las m aplicaciones  L i:  R n——→  R  son lineales y por lo tanto, de acuerdo a la desigualdad (2),  tenemos

|| L i (x)  || ≤    || L i ||   || x  ||         (2)

Luego se tiene

|| L (x)  ||  =    || ( L 1  ( x) ,  ...., L m  ( x)) ||  = | L 1 (x)  | + | L 2 (x)  | +...+ | L m (x)  |

≤    | L 1 |   || x  ||   + | L 2 |   || x  ||  + ....+ | L m |   || x  ||

Si hacemos

|| L || =  Max {  | L 1  |  , ...., | L m  | }

se tiene entonces que

|| L (x)  || ≤    || L ||   || x  ||         (3)

Luego  L es Lipschitziana y por lo tanto continua.

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