1. Comenzaremos con la desigualdad triangular del valor absoluto de números reales

 Para x, y  números reales se cumple

| x + y | ≤ | x | +  | y |.

Demostración: Para x e y se verifican las desigualdades:

- | x | ≤ x ≤ | x |

- | y | ≤ y ≤ | y |

Sumando ambas desigualdades tenemos

- (| x |  +| y |  ) ≤ x  + y ≤  | x | + | y |

y de aquí se obtiene el resultado.

2. Desigualdad del cuadrilátero. Si  a, b, c y d son números reales, entonces se tiene

a b + c d ≤ [( a² + c² ) ( b² + d²)  ]^½

Demostración: Elevando al cuadrado el miembro izquierdo se tiene:

( a b + c d )²  = a² b²  + 2 a b c d +   c² d²   ≤  a² b² + a² d² + c² b² + c² d²  (1)

haciendo uso de la desigualdad 2 x y ≤ x ²+ y ²  la cual es cierta para x e y números reales.

Factorizando el segundo miembro de la desigualdad (1) obtenemos

( a b + c d )² ≤ ( a² + c² ) ( b² + d²)

y de aquí se obtiene el resultado, al tomar raíces cuadradas en ambos lados.

3. Desigualdad triangular para los números complejos.

Sean Z = a + bi  y W = c + di , dos números complejos, entonces  se tiene

| Z + W |  ≤ | Z | +  | W |.

Demostración: Tenemos las igualdades

| Z + W |  ²   = ( Z + W ) ( Z + W ) = Z Z  + W W + Z W + Z W

                                                = | Z | +  | W | + Z W + Z W

Si logramos probar  que

                                      Z W + Z W ≤ 2 | Z | | W |                                          ( 1)

se tendrá entonces  | Z + W |  ²   ≤ (| Z | + | W |)² y de aquí se obtendrá el resultado.

Notemos que

Z W + Z W = (a + bi )(c - di) + (a -  bi )(c + di)

                                               = ac + bd - ( ad - bc ) i + ac + bd + ( ad - bc ) i 

                                               = 2 ( ac + bd )

                                                 ≤ 2 [( a ²+ b ²)( c ²+ d ²)] ^½

                                                  = 2 | Z | | W | 

Nótese que hemos usado la desigualdad del cuadrilátero en la penúltima línea.

3. Desigualdad triangular para R².

Sean V = (a ,b) , U = ( c, d) y W = ( e, f) tres vectores del plano. Entonces se tiene

| U - V | ≤  | U - W | +   | W - V |

Demostración. Tenemos

| U - V |²  =  ( c - a )² + ( d - b)²  =  [( c - e) + ( e - a )] ² + [( d - f ) + ( f - b)]²

                =     ( c - e )² + ( e - a)² + 2 ( c- e)( e-a) + ( d - f )² + ( f - b)² + 2 ( d -f)( f- b).

Usando la desigualdad del cuadrilátero, se tiene :

2 ( c- e)( e-a) + 2 ( d -f)( f- b) ≤ 2 [ ( c - e )² + ( d - f )² ]^½ [ ( e - a)²   +  ( f - b)² ]^½

^{Nótese que}  | U - W | = [ ( c - e )² + ( d - f )² ]^½  y  | W - V | = [ ( e - a)²   +  ( f - b)² ]^½

^Luego

| U - V |²  ≤ | U - W | ²+ 2 | U - W|  | W - V | +  | W - V | ² =  [ | U - W | + | W -V | ]²

y tomando maíces cuadradas en ambos lados nos produce el resultado deseado.

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