- En el espacio tridimensional en que nos movemos- comienza diciendo  el profesor- hablamos de distancia entre los objetos como una propiedad relacionada con la cercanía o proximidad entre los mismos.

Así pues decimos que una casa está a una distancia de dos kilómetros de la escuela o que Mérida está a 700 Km. de Caracas. Podemos comparar las distancias entre varios objetos y un punto de referencia fijo. Unos estarán más cerca que otros. Otros estarán a la misma distancia. Siempre será posible medir la distancia entre ellos, pues la distancia es algo que se puede cuantificar por medio de una medida  o métrica.

Este concepto tan intuitivo de distancia tiene su equivalente en la matemática, cuando consideramos a los objetos como puntos sobre un plano o un espacio euclídeo y entonces la distancia entre ellos; podemos decir de una manera algo vaga, que  es la magnitud del segmento más corto que los une. Una definición muy aceptada ésta, pero que quizás no se corresponde totalmente con la realidad. El concepto de distancia que manejamos en la geometría clásica es algo convencional, limpio, impecable e impuesto por la matemática, y que,  dicho sea de paso,  se adapta muy bien al tipo de razonamiento lógico deductivo. Es un concepto abstracto que se apoya en la existencia de mundos perfectos que son idealizaciones de una realidad más compleja.

En realidad, cuando consideramos los puntos sobre un globo terráqueo, la distancia de una ciudad a otra se mide sobre una curva o circulo máximo y es mayor que la distancia "real" o euclideana entre los puntos vistos como parte del espacio tridimensional. Usamos los mapas de papel, una representación plana de la tierra,  para ubicarnos y cuando medimos distancias geográficas, lo hacemos como si la tierra fuese plana. Inclusive cambiamos el tamaño real de las distancia utilizando planos a escala. Para efecto de muchas actividades humanas, da igual considerar a una región geográfica o territorio de un país, como colocado encima de un plano o sobre una superficie curva. En los mapas la forma actual de los países varía un poco, pero hay cosas que quedan invariantes, como son las fronteras, el interior de los países y las posiciones relativas de unos con respecto a los otros. El estudio de las propiedades de los objetos que permanecen invariantes al cambiar la forma de medir las distancias, es, a grosso modo, el objeto de la Topología.

Sea M un conjunto cualquiera. Una métrica sobre M es una función 

d : M  × M ———→     R

que asocia a cada par de elementos (a, b), con a y b en M, un número real d (a, b), llamado la distancia desde a hasta b, el cual satisface las siguientes propiedades

1. d (x, y) ≥ 0, para x e y en M.

2. d (x, y) = 0 , sí y sólo si x = y.

3. d( x, y) = d( y, x), para todo par de elementos x e y en M.

4. d( x, z) ≤ d ( x, y) + d( y, z) , para x, y, z elementos en M.

Podemos hacer unas breves observaciones sobre la definición de distancia. En primer lugar, el lector debe observar que la distancia es siempre un número real mayor a o igual acero. Cuando los puntos x e y en M son distintos, entonces la distancia será un número estrictamente positivo. Si los puntos iguales, la distancia entre los mismos es cero, lo cual es muy evidente de acuerdo a nuestra intuición. La tercera propiedad, también muy intuitiva, nos dice que la distancia no depende del sentido con que se mida, es decir la distancia desde x hasta y es igual a la distancia desde y hasta x. La última propiedad, conocida como la desigualdad triangular, establece que si los tres puntos x, y, y z, forman los vértices de un triángulo, entonces la suma de dos lados es siempre mayor o igual  que el tercer lado.

Un conjunto M, junto con una métrica d, se llama espacio métrico y se denota por el par (M, d)

La variedad de espacios métricos con que nos encontramos en las matemáticas es sorprendente. Los hay desde los mas sencillos y pequeños, como los conjuntos finitos, hasta espacios de funciones, pasando por los números reales, vectores, matrices,...etc. También es posible que un conjunto M esté dotado de dos métricas distintas y entonces de origen a dos espacios métricos completamente distintos. Esto nos lleva a estudiar el concepto de métricas equivalentes. Para poder demostrar algunos de los resultados más importantes sobre los espacios métricos, debemos conocer bien algunas desigualdades básicas de la matemática.

1. El espacio métrico discreto. Sea M un conjunto cualquiera y definamos sobre M la métrica:

Es fácil verificar que d es una métrica sobre M, llamada la métrica discreta. Con esta métrica, el espacio M se llama un espacio métrico discreto.

2. El conjunto de los números reales R, es un espacio métrico, donde la métrica d se define

d( x, y) = | x -y |

para x e y números reales.

3. El espacio euclideano de dos dimensiones o plano euclideano. Este espacio, denotado por R² está formado por todos los pares ordenados de números reales ( x, y ). Se representa geométricamente mediante un plano y los elementos del mismo son los puntos del plano, que se identifican mediante las  coordenadas cartesianas. En R² definimos una distancia entre los puntos mediante la fórmula

donde X =  ( x ₁, x ₂)  y Y =  ( y ₁, y ₂), son puntos de R² .

Esta fórmula define una métrica sobre R² . Las propiedades 1, 2 y 3 son muy fáciles de verificar. Para verificar la propiedad 4, se hace uso de la desigualdad:

ab + cd ≤ [(  a² + c²) ( b ²+ d² )]^½

para a, b, c y d números reales.

Esta métrica se llama métrica euclideana o métrica usual en R² , pues es la más usada.

4 . El espacio  Euclideano n-dimensional. Sea R ⁿ el espacio Euclideano de n dimensiones, cuyos elementos son las n-uplas ordenadas de números reales X = ( x ₁,....,x _n) .

 Podemos definir una métrica sobre este espacio de la siguiente forma. Si X =  ( x ₁,....,x _n) e Y = ( y ₁,....,y _n)  son dos puntos en R ⁿ  entonces la distancia entre X e Y, vendrá dada por

Se puede verificar que d satisface todas las propiedades de una métrica. Las propiedades 1,2 y 3 son muy sencillas de probar. Para la propiedad se procede como en el ejemplo anterior. Esta métrica se llama también la métrica usual para R ⁿ.

5.  Si M es un espacio métrico y A es un subconjunto de M, entonces A puede ser considerado como un espacio métrico con la métrica de M, restringida al conjunto A. Esta métrica se llama métrica inducida y se denota por d _A y el espacio métrico ( A, d _A)   se llama subespacio métrico inducido.  

Por ejemplo, el conjunto Z de todos los números enteros es un espacio métrico, con la métrica inducida por el espacio métrico real, del ejemplo 2.

6. Espacio métrico Producto. Si ( M₁, d ₁) ,.....(M _s , d _s) son espacios métricos, entonces el espacio producto M =   M₁ × · · · × M _s   también es un espacio métrico con la distancia

d( ( a₁ , ... , a_s ), ( b₁,....,b _s) ) = max d_i ( a _i , b _i )

Esta distancia define una métrica, llamada Métrica Producto

7. Ejemplo. Probar que la función F( x) = | x | / ( | x | + 1 ) define una métrica en R.

Solución: Debemos demostrar las tres propiedades que definen una métrica.

En primer lugar, Si A y B son números reales, se tiene:

d ( A, B) = | A -B | / ( | A -B |  + 1) = 0,

sí y sólo si el numerador de esta fracción es igual a cero. Por lo tanto debemos tener | A -B | = 0 , lo cual implica que A = B, puesto que el valor absoluto de números reales, posee esta propiedad. POr otro lado, si sumimos que A = B, entonces se tendrá que d ( A, B) = 0.

En segundo lugar,

d ( A, B) = | A -B | / ( | A -B |  + 1) = | B - A | / ( | B - A |  + 1) = d ( B, A).

La tercera propiedad de la métrica, llamada desigualdad triangular es la más difícil de probar. Nótese que la función real  f( x ) = x / ( x +1) es creciente. En efecto al calcular su derivada se tiene que  f ´ (x) = 1 / ( x + 1) ²  ≥ 0. POr lo tanto tendremos:

| A -B | ≤ | A -C |  + | C -B | .

Luego

f ( | A -B | )  ≤  f ( | A -C |  + | C -B | )

y por lo tanto

d ( A, B) = | A -B | / ( | A -B |  + 1) ≤ (| A -C | + | C -B |) / (  | A -C | + | C -B |+ 1)

Separando las fracciones se tiene

d ( A, B) ≤ | A -C |  / (  | A -C | + | C -B |+ 1) + ≤  | C -B | / (  | A -C | + | C -B |+ 1).

Por lo tanto podemos tomar denominadores menores y se mantiene el sentido de la desigualdad. Luego se tiene:

 d ( A, B) ≤ | A -C |  / (  | A -C | + 1) + ≤  | C -B | / (   | C -B |+ 1) = d ( A , C) + d ( B, C).

ES decir, hemos demostrado

 d ( A, B) ≤ d ( A , C) + d ( B, C).

Para A, B y C números reales.

Un espacio vectorial E, se dice que es un Espacio Normado, si sobre E se define una norma

||  || : E ———→ R

la cual envía a cada vector v del espacio en un número real || v || , llamado la norma de v, . con las siguientes propiedades

1. || v | | ≥0  y || v || = 0, sí y sólo si v = 0.
2. || λ v || = | λ  | ||  v ||
3. || v + u ||  ≤  ||  v || + ||  v ||.

El par ( E, ||   || ) se llama espacio normado.

Ejemplos de espacios normados

1) El conjunto R de los números reales, es un espacio normado con la norma dada por el valor absoluto.

||  v || = | v |.

En este caso la norma de un número real es la distancia desde el número real al origen.

2) Rⁿ , es un espacio vectorial normado, con la norma euclideana

||  v ||  = [ x₁²  + x₂² +     + x_n² ] ^½

donde v = ( x₁ ,  x₂ ,  . . .    ,  x _n ).

Este espacio se llama Espacio Normado Euclideano  n dimensional

En R³ , el Espacio Euclideano de 3 dimensiones, la norma de un vector v, representa la distancia desde el origen hasta el punto final de v ( en R³ , todos los vectores tienen su punto inicial en el origen).

3) Si A es un conjunto cualquiera, el conjunto de funciones acotadas de A en los números reales, denotado por ℬ( A, R) , es un espacio vectorial normado con la norma del supremo

||  f || = sup |  f(x) | , con x en A.

Todo espacio vectorial normado ( E, ||   || ) se puede convertir en un espacio métrico, con la métrica dada por

d (x, y) = ||  x - y  ||

esta métrica d, así definida, se llama la métrica proveniente de la norma.

Página Principal                    Siguiente Ü