|
Espacios de funciones
|
Los espacios de funciones juegan un papel de primera importancia en las aplicaciones de la matemática. Muchos problemas de optimización, ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones se resuelven de manera estructurada dentro de estos espacios. Antes de entrar a definir los espacios de funciones, debemos hablar primero de las funciones acotadas. Sea A un conjunto cualquiera.
Una función f : A → R se dice acotada, si existe un número real, positivo k, tal que
| f( x) | ≤ k, para todo x en A.
El conjunto de funciones acotadas sobre A, será denotado por B( A, R). ( la letra B es por la palabra Bounded que quiere decir acotada en inglés). El lector debe saber, de sus conocimientos de álgebra lineal, que el conjunto de funciones definidas sobre A con valores reales, el cual denotaremos por F ( A, R), es un espacio vectorial. Además se puede demostrar que el conjunto B( A, R) es un subespacio vectorial del mismo. En particular, la suma y diferencia de funciones acotadas es acotada.
Un ejemplo de función acotada es la función
f : [ 0, 1] —→ R , f ( x) = x 2.
¿Podrías hallar un valor para la cota k?
Podemos dotar al espacio de funciones acotadas de una métrica. Si f y g son dos funciones en B( A, R)., entonces se define la distancia entre ellas como
d( f, g) = sup | f( x) - g( x) |.
donde el supremo se toma sobre todos los valores posibles con x en A.
Es fácil demostrar que B( A, R). es un espacio métrico. La métrica definida arriba, se llama métrica de la convergencia uniforma o métrica del supremo. ¿ Conoces otra manera de definir distancias en los espacios de funciones?
Cuando el conjunto A es igual al conjunto de los números naturales N = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6, .... }, entonces podemos identificar a las funciones f : N —→ R, con sucesiones de números reales { a 1, a 2, .....}. Luego el espacio de las sucesiones infinitas de números reales, acotadas, es también un espacio métrico, con la métrica del supremo.
¿ Qué pasa si ahora M es un espacio métrico, con métrica d, y consideramos las funciones f : A → M ?
Una función de este tipo se dice acotada si f (A) es un subconjunto acotado de M, o bien existe una constante c tal que
d ( f ( x), f ( y) ) ≤ c,
para todo par de elementos x e y en A. El conjunto de funciones acotadas de A en M es un espacio métrico, al cual se denota por B( A, M). La métrica en este espacio viene definida por
d ( f, g) = Sup d( f (x), g (x) )
donde hemos usado la misma letra d para ambas métricas. Observe que al estar f y g acotadas, entonces el supremo existe ¿ Por qué?