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Noción de límite |
Consideremos la sucesión de números 0, 1/2, 4/5, 1, 8/7, 5/4, 4/3, 7/10, 20/13,......:podemos representar los valores sobre una recta numérica
Vemos como los valores se aproximan a 2 en forma progresiva.
Podemos dar una notación especial para esta sucesión ( un poco de simbolismo siempre es necesario para poder expresar las ideas con claridad). Hacemos entonces
| a0 = 0 | a5 = 5 / 4 |
| a1 = 1 /2 | a6 = 4/3 |
| a2 = 4/ 5 | a7 = 7 / 5 |
| a3 = 1 | a8 = 16 / 11 |
| a4 = 8 / 7 | a n = 2n / n + 3 |
Podemos afirmar, en base a un conocimiento experimental, que la distancia entre los términos de la sucesión y 2, o lo que es lo mismo, | a n - 2 | se hace muy pequeño, a medida que n crece. Se dice que entonces que el límite de la sucesión {a n} es igual a 2. Nótese que en este caso, ningún valor de la sucesión es igual a 2! Lo importante aquí es que podemos hallar términos de la sucesión tan cercanos a 2 como se desee.
| Por ejemplo , si Juan le pide a María -Quiero un término de la sucesión que esté a menos de una milésima de 2. Entonces María le responde -Si tomo n = 10000, entonces a 10000 = 1,9994001799460161951414575627312.
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Juan y María pueden pasar días enteros en este juego y siempre ganará María. ¿ Por qué?
Si ( M, d) es un espacio métrico y { a n } es una sucesión en M, entonces diremos que el límite de la sucesión cuando n tiende a infinito es L, o que la sucesión converge a L , si para todo ε >0, existe un número natural grande N0 , tal que
d( a n , L ) < ε , para todo n ≥ N0.
En otras palabras, dado un ε > 0 , podemos tener todos los puntos de la sucesión { a n } , a partir de n0, dentro de la bola abierta B ( L, ε).
Una sucesión { a n } en un espacio métrico M, es una función f : N ——→ M , donde la imagen de un número natural n, la representamos por f( n) = a n . Para denotar esto, usamos el simbolismo
El límite de una función
Si ahora tenemos dos espacios métricos ( M, d ) y (N, d') y f es una función f : M ——→ N , examinaremos el concepto del límite de una función en un punto. Primero daremos una definición en términos de distancias.
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Sea a perteneciente a N entonces el límite de f (x), cuando x tiende a a es L , y lo denotamos por
si para todo ε > 0 , existe un δ > 0, tal que d´( f( x) , L) < ε , si d ( x, a ) < δ .
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Daremos una segunda definición de límite, equivalente a la anterior, en términos de bolas abiertas.
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Sea a perteneciente a N entonces el límite de f (x), cuando x tiende a a es L , y lo denotamos por
si para todo ε > 0 , existe un δ > 0, tal que f (B ( a, δ) ) Í B( L, ε )
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Podemos imaginar la acción de una función sobre la bola abierta con centro en x, de color celeste: la función lleva la bola dentro de la bola con centro en L ( de color magenta)
Observación: Si a es un elemento de un espacio métrico M y f es una función de M en otro espacio métrico N, y el límite de f( x) cuando x tiende a a es L, entonces el valor de L es único. NO puede ser posible que f( x) tienda hacia otro valor T, distinto de L.
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Para probar este hecho, podemos tomar dos bolas abiertas en el espacio N, una centrada en L y la otra en T, de tal manera que no se corten. Entonces ( aplicando la definición de límite en ambos casos ) podemos hallar una bola centrada en a B (a, δ ) de color celeste, la cual va a ser enviada por la función en dos lugares distintos simultáneamente. Esto por supuesto es una contradicción. Ejercicio: dar una demostración formal.
