Poliedros

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Visibilidad en los Poliedros

Los poliedros son sólidos definidos en su totalidad por superficies plana. Por ser objetos tridimensionales, poseen un volumen propio que oculta al observador algunas de sus partes (vértices; aristas; caras; etc). Por lo tanto en la representación de un poliedro es muy importante definir su visibilidad; representando con líneas de trazo continuo sus aristas visibles al observador y con líneas segmentadas sus aristas invisibles.

 

En la fig.1a se representa un prisma sin tomar en cuenta su visibilidad; esta representación, como ya se explicó es incorrecta. En la fig.1b, se representa el mismo prisma, asumiendo que el vértice (D) es invisible al observador y el vértice (B¹) es visible. Y en la fig.1c se representa el mismo prisma asumiendo que el vértice (B¹) es invisible al observador y el vértice (D) es visible.

 

 

Como sucede en este ejemplo, existen siempre dos alternativas lógicas de visibilidad en la representación de cualquier poliedro (en general en la representación de cualquier sólido), pero solo una de ellas es correcta; es el análisis de su visibilidad lo permite definir cual de las dos es la correcta.

 

 

DETERMINACIÓN DE LA VISIBILIDAD EN LAS PROYECCIONES DE LOS POLIEDROS

 

Se puede definir la visibilidad correcta en la representación de un poliedro, por medio de la observación de las tres características siguientes, las cuales pueden observarse en la fig.1b y fig.1c:

I)  Todo el contorno externo de un poliedro es visible.

II)       Si dos aristas que se cruzan poseen proyectivamente un punto en común, entonces una es visible y la otra nó. Ejemplo: aristas (D-D¹) y (A¹-B¹) y aristas (B-B¹) y (C-D).

III)      Al considerar cualquier vértice, dentro del contorno del poliedro, todas las aristas que concurren a el tienen la misma visibilidad; siendo todas visibles ó todas invisibles.

 

 

Ejemplo: Definir la visibilidad del prisma mostrado en la fig.2a.

 

Solución:

 

a)     Como se observa en la fig.2a inicialmente se representan las proyecciones del prisma dibujando todas sus aristas con líneas de procedimiento; es decir trazado tenue continuo.

b)    De acuerdo con la característica I) se dibuja, con líneas de contorno visible (trazado continuo fuerte), todo el contorno externo del prisma en ambas proyecciones\ fig.2b.

 

 

c)  Para definir la visibilidad en la proyección vertical del prisma\ fig.2c:

1)     De acuerdo con la característica II),  se determina, cual de la aristas que se cruzan (A¹-B¹) y (D-D¹) es visible en proyección vertical. Para ello, se traza el segmento de punta (1-2) que se corta con ambas y se representa como arista visible, en proyección vertical, aquella que contenga el punto de mayor vuelo del mismo; resultando ser la arista (A¹-B¹) que contiene al punto (2), en consecuencia la proyección vertical (D^v-D^1v) de la arista (D-D¹) es invisible al observador.

2)     De acuerdo con la característica III) todas las aristas que concurren al vértice (B^1v) son visibles al observador y todas las que concurren al vértice (D^v) invisibles.

d) Para definir la visibilidad en la proyección horizontal  del prisma\ fig.2d:

1)     De acuerdo con la característica II),  se determina, cual de la aristas que se cruzan (A-A¹) y (B-C) es visible en proyección horizontal. Para ello, se traza el segmento vertical (3-4) que se corta con ambas, y se representa como arista visible, en proyección horizontal, aquella que contenga el punto de mayor cota del mismo; resultando ser la arista (A-A¹) que contiene al punto (4), en consecuencia la proyección vertical (B^h-C^h) de la arista (B-C) es invisible al observador.

2)     De acuerdo con la característica III) todas las aristas que concurren al vértice (A^1h) son visibles al observador y todas las que concurren al vértice (C^h) invisibles.

 

 

No siempre es necesario trazar rectas de punta y/o verticales para poder definir la visibilidad de los poliedros en doble proyección ortogonal como lo muestran los ejemplos siguientes:

a)     Analisis de la visibilidad del tetraedro de la fig.3a:

1)     Visibilidad de la proyección vertical:

El vértice (D) es invisible al observador; debido a que se encuentra dentro del contorno del tetraedro, y es el vértice de menor vuelo del mismo. Por lo tanto todas las aristas que concurren a el son invisibles al observador.

2)     Visibilidad de la proyección horizontal :

El vértice (B) es visible al observador; debido a que se encuentra dentro del contorno del mismo, y es el vértice de mayor cota del tetraedro. Por lo tanto todas las aristas que concurren a el son visibles al observador.

b)    Analisis de la visibilidad del tetraedro de la fig.3b:

1)     Visibilidad de la proyección vertical:

La visibilidad de las aristas que se cruzan (A-B) y (C-D) es obvia; siendo visible la arista (C-D) por tener mayor vuelo que la arista (A-B), siendo en consecuencia invisible esta última.

2)     Visibilidad de la proyección horizontal :

La visibilidad de las aristas que se cruzan (A-D) y (B-C) también es obvia; siendo visible la arista (A-D) por tener mayor cota que la arista (B-C), siendo en consecuencia invisible esta última.

c)     Analisis de la visibilidad de la pirámide de la fig.3c:

1)     Visibilidad de la proyección vertical:

El vértice (D) es invisible al observador; por encontrarse dentro del contorno externo de la pirámide y ser su vértice de menor vuelo. Por lo tanto todas las aristas que concurren a el son invisibles.

La arista (V-B) es visible al observador; debido a que se cruza con la arista (A-D) que es invisible.

2)     Visibilidad de la proyección horizontal :

La arista (A-B) es invisible al observador; por encontrarse dentro del contorno de la pirámide y ser la arista de menor cota de la misma. Por lo tanto las aristas (V-D) Y (V-C), que se cruzan con la arista (A-B), son visibles al observador.