Hexaedro Regular (Cubo)

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Construcción de un Cubo, Conocido un Vértice y una Recta que Contiene a una Diagonal Mayor

Definir el cubo (ABCD-EFGH), dado su vértice (C) y la recta (r) que contiene a la diagonal mayor (A-G)\ fig.7a.

a)     La recta (r) y el vértice (C) definen el plano (a) que contiene a la sección principal (AEGC) del cubo. Por lo tanto, sobre este plano (a) se construye esta sección principal de la siguiente forma\ fig.7b:

1)     Se traza la recta (a), perpendicular a la recta (r), y se determina el punto de corte (I) entre las dos rectas.

2)     Se define el punto medio (X) del segmento (C-I).

3)     Se define el centro (N) de la cara (EFGH), cortando la recta (a) con un arco de circunferencia de centro (I) y radio igual a la distancia (d_I-X) entre los puntos (I y X).

4)     Se define el vértice (A), cortando la recta (r) con un arco de circunferencia de centro (N) y radio igual a la distancia (d_N-C) entre los puntos (N y C).

5)     Se dibuja la arista (A-C), y se determina su punto medio (M). La recta (M-N) es un eje del cubo\ fig.7c.

6)     Se traza, por el vértice (C), y paralela a (MN), la arista (CG), ubicando a (G), sobre la recta (r).

7)     Se define, por paralelismo el vértice (E).

Puede observarse que existe una segunda solución, mostrada en la fig.7d.

En la fig.7e, se muestra en el esquema en perspectiva, la sección principal ya construida.

b)    Se traza, por, el centro (M) de cara, y perpendicular al plano (a), la diagonal mayor (B-D); la cual es de igual longitud que las diagonales mayores (A-C) y (E-G)\ fig.7e.

Se traza, por el centro de cara (N) y perpendicular al plano (a), la diagonal mayor (F-H); la cual es de igual longitud que las anteriores.

c)     Se trazan las aristas del cubo y se define su visibilidad\ fig.7f.

Ejemplo: Definir las proyecciones de un cubo (ABCD-EFGH) con diagonal mayor (C-E) en la recta (r) y vértice (A)\ fig.8a.

Solución (por rotaciones):

a)     La recta (r) y el punto (A) definen un plano (a) que contiene a la sección principal (AECG) del cubo, por lo tanto: se define este plano por dos rectas características (f) y (h); de la siguiente manera\ fig.8b:

Se traza la recta horizontal (h), que pasa por el punto (A).

Por un punto (2) cualquiera de ella se traza la recta frontal (f).

b)    Se rota, alrededor del eje de punta (p), que pasa por el punto (3), el plano (a); hasta la posición vertical (a₁). Y se rotan también la recta (r) y el vértice (A); de la siguiente manera:

1)     Se establece el eje de rotación (p) de punta\ fig.8c.

Para determinar el ángulo (a^o) que debe girar el plano (a) alrededor del eje (p) para colocarse en la posición vertical (a₁); se rota, por medio de sus puntos (2 y 3), la recta frontal (f) hasta la posición vertical (f₁).

2)     Se rotan, el ángulo (a^o), los puntos (1 y A) y en consecuencia la recta (r); definiendo así sus proyecciones (1₁ ; A₁; y r₁)(\ fig.8d.

3)     Se determinan las trazas del plano (a) en su posición vertical (a₁).

c)     Estableciendo el eje vertical (v), se gira el plano (a), junto con la recta (r) y el punto (A) desde la posición vertical (a₁), hasta la posición frontal (a₂); obteniendo las proyecciones (r₂ y A₂)\ fig.8e.

d)    Se dibuja, en verdadero tamaño, la sección principal (AEGC) del cubo en su proyección (A₂E₂G₂C₂) \ fig.8f.

Se gira la sección principal del cubo, desde su proyección (A₂E₂G₂C₂) hasta su proyección (A₁E₁G₁C₁).

e)    Se gira la sección principal del cubo, desde su proyección (A₁E₁G₁C₁) hasta su proyección (AEGC), obteniendo sus proyecciones vertical (A^VE^VG^VC^V) y horizontal (A^hE^hG^hC^h)\ fig.8g. (Recuérdese que todos los puntos giran el mismo ángulo (a^o) determinado inicialmente).

f)      Se traza, por el centro de cara (N), la recta (d), perpendicular al plano (a); esta recta contiene a la diagonal menor (F-H); cuyo centro es (N)\ fig.8h.

Se ubica, sobre la recta (d), el vértice (F); midiendo para ello, por medio de un triángulo de rebatimiento a partir del centro de cara (N), la distancia (d_E-N) tomada de la fig.8f.

g)    Se ubica, sobre la recta (d), el vértice (H); haciendo para ello iguales las longitudes de los segmentos (N-H) y (N-F)\ fig.8i.

Se dibuja, paralela a la diagonal menor (F-H) y de su misma longitud, la diagonal menor (B-D); de la cual su punto medio es (M).

h)    Se dibujan todas las aristas del cubo y se define su visibilidad\ fig.8j.

Hexaedro Regular (Cubo)