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ÁLGEBRA MATRICIAL
PROF. MARIELA SARMIENTO
SESIÓN 1: VECTORES EN EL PLANO
Enfoque Geométrico:
Definición: Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto P hasta un punto Q.
Notación: Denotamos al vector con punto inicial P y punto final Q, por
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Elementos de un Vector Los vectores tienen longitud (medida del segmento PQ ), dirección (la misma que tiene la recta que los contiene) y sentido (según lo indica la flecha). |
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Definición: Dos vectores representados por
son iguales si tienen la misma longitud, dirección y sentido. |
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Observación: De acuerdo a la definición anterior, para cada vector en el plano podemos dibujar un vector igual a él con punto inicial en el origen de algún sistema de coordenadas cartesianas, esto me determina un punto (x , y) del plano que es el correspondiente punto final del vector. Así, todo vector en el plano se puede definir analíticamente en términos de números reales.
Enfoque Analítico:
Definición: Un
vector en el plano es un par ordenado de números reales (x , y). Los números x
y y
son las componentes del vector.
Observación: Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores del plano y los puntos del plano.
Ejemplo:
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Sea A = (a1 , a2) entonces el vector A se puede representar por el segmento:
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Definición: La representación de un vector que tenga su punto inicial en el origen se denomina representación posicional del vector.
Ejemplo:
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El vector (2 , 3) tiene como representación posicional el vector
La representación de (2 , 3) con punto inicial (h , k) tiene como punto final a (h+2 , k+3) |
Definición: El vector (0 , 0) se denomina vector nulo y se denota por O = (0 , 0)
Observación: Cualquier punto es una representación del vector nulo.
Definición: La magnitud (o norma) de un vector A es la longitud de cualquiera de sus representaciones.
Notación:
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Teorema:
Si A = (a1 , a2) entonces
La
demostración de este teorema se basa en el Teorema de
Pitágoras. |
Ejemplo:
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El vector A = (4 , 3) tiene magnitud
El vector A es la representación posicional, por ejemplo, del vector con punto inicial P = (-1 , 2) y punto final Q = (-1+4 , 2+3) = (3 , 5) Hallemos la magnitud de
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Definición: El ángulo
director de cualquier vector distinto del vector nulo es el ángulo q
medido desde el lado positivo del eje x en sentido contrario a las agujas del
reloj.
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Si A = (a1 , a2) entonces
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Observación: Dada la magnitud y el ángulo director de un vector A = (a1, a2), podemos hallar sus componentes, de la siguiente manera: |
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Ejemplo: Halle el
ángulo director del vector (1 , -2)
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Estamos midiendo el ángulo en sentido de las agujas del reloj, por ello es negativo (a). Para medir a q, como indica la figura, hacemos:
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SUMA
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Analíticamente |
Geométricamente |
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La suma de dos vectores A =(a1 , a2) y B =(b1 , b2) es el vector A+B=(a1+b1 , a2+b2) Como has podido observar, hemos sumado las correspondientes componentes de los vectores A y B. |
Usamos el Método del Paralelogramo Por el extremo de A trazamos una paralela a B y viceversa. Como observas en la figura, las paralelas y los vectores han formado un paralelogramo, cuya diagonal es el vector suma A+B. |
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Definición: Si A =
( a1 , a2) entonces el vector (–a1 , –a2)
se denomina el negativo (u opuesto) de A y se denota por –A.
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Si el vector A se representa por
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Definición: La
diferencia o resta de dos vectores A y B se denota por A – B y se define por
el vector que se obtiene al sumar a A el negativo de B, esto es,
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Si A = (a1 , a2) y B = (b1 , b2) entonces A – B = (a1 – b1 , a2 – b2) Observación: Para obtener A-B en forma geométrica, basta con unir el extremo de A con el extremo de B (ver la figura). |
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Definición: S a
es un escalar y A = (a1 , a2) es un vector entonces el
producto de a
por A es el vector aA
= a
(a1 , a2) = (aa1
, aa2)
Ejemplo:
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RESUMEN |
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PAGINAS SIMILARES |
AUTOEVALUACIÓN |
Profa. Mariela Sarmiento SantanaDra. en Pedagogía
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, para ello usamos la fórmula de distancia entre dos puntos. Esto es
