ÁLGEBRA MATRICIAL

PROF. MARIELA SARMIENTO

 

SESIÓN 1:   VECTORES EN EL PLANO

 

Enfoque Geométrico:

 Definición: Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto P hasta un punto Q.

Notación: Denotamos al vector con punto inicial P y punto final Q, por

                            

Elementos de un Vector

 

Los vectores tienen longitud (medida del segmento PQ ), dirección (la misma que tiene la recta que los contiene) y sentido (según lo indica la flecha).

  

Definición: Dos vectores representados por

          y           

son iguales si tienen la misma longitud, dirección y sentido.

.

 

Observación: De acuerdo a la definición anterior, para cada vector en el plano podemos dibujar un vector igual a él con punto inicial en el origen de algún sistema de coordenadas cartesianas, esto me determina un punto     (x , y) del plano que es el correspondiente punto final del vector. Así, todo vector en el plano se puede definir analíticamente en términos de números reales.

 Enfoque Analítico:

 Definición: Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x , y). Los números x  y  y  son las componentes del vector.

Observación: Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores del plano y los puntos del plano.

 Ejemplo

Sea A = (a1 , a2) entonces el vector A se puede representar por el segmento:

 

 Definición: La representación de un vector que tenga su punto inicial en el origen se denomina representación posicional del vector.

 Ejemplo

El vector (2 , 3) tiene como representación posicional el vector

.

 

La representación de (2 , 3) con punto inicial (h , k) tiene como punto final a      (h+2 , k+3)

 Definición: El vector (0 , 0) se denomina vector nulo y se denota por O = (0 , 0)

 Observación: Cualquier punto es una representación del vector nulo.

 Definición: La magnitud (o norma) de un vector A es la longitud de cualquiera de sus representaciones.

Notación:          

Teorema: Si A = (a1 , a2) entonces .

La demostración de este teorema se basa en el Teorema de Pitágoras.

 

 Ejemplo:

El vector A = (4 , 3) tiene magnitud

El vector A es la representación posicional, por ejemplo, del vector con punto inicial P = (-1 , 2)   y punto final

Q = (-1+4 , 2+3) = (3 , 5)

Hallemos la magnitud de , para ello usamos la fórmula de distancia entre dos puntos. Esto es

Definición: El ángulo director de cualquier vector distinto del vector nulo es el ángulo q medido desde el lado positivo del eje x en sentido contrario a las agujas del reloj. 

Si A = (a1 , a2) entonces

   

 

Observación: Dada la magnitud y el ángulo director de un vector          

A = (a1, a2), podemos hallar sus componentes, de la siguiente manera:

 

 Ejemplo: Halle el ángulo director del vector (1 , -2) 

 

Estamos midiendo el ángulo en sentido de las agujas del reloj, por ello es negativo (a). Para medir a q, como indica la figura, hacemos:

 

 

  OPERACIONES CON VECTORES   

  1. SUMA

Analíticamente

Geométricamente

La suma de dos vectores A =(a1 , a2) y  B =(b1 , b2) es el vector

A+B=(a1+b1 , a2+b2)

 

Como has podido observar, hemos sumado las correspondientes componentes de los vectores A y B.

Usamos el Método del Paralelogramo

Por el extremo de A trazamos una paralela a B y viceversa. Como observas en la figura, las paralelas y los vectores han formado un paralelogramo, cuya diagonal es el vector suma A+B.

 

   

 Definición: Si A = ( a1 , a2) entonces el vector (–a1 , –a2) se denomina el negativo (u opuesto) de A y se denota por –A.

Si el vector A se representa por   representa al vector  –A

 

  1. RESTA

Definición: La diferencia o resta de dos vectores A y B se denota por A – B y se define por el vector que se obtiene al sumar a A el negativo de B, esto es,  A – B = A + (-B).

Si A = (a1 , a2)  y  B = (b1 , b2) entonces

A – B = (a1 – b1 , a2 – b2)

Observación: Para obtener A-B en forma geométrica, basta con unir el extremo de A con el extremo de B (ver la figura).

 

  1. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

 Definición: S a es un escalar y A = (a1 , a2) es un vector entonces el producto de a por A es el vector     aA = a (a1 , a2) = (aa1 , aa2.

Ejemplo

 

RESUMEN

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

PAGINAS SIMILARES AUTOEVALUACIÓN

 


Profa. Mariela Sarmiento Santana
Dra.  en Pedagogía
ULA-NURR.  
Última modificación: 30 de Julio de 2005