De ahora en adelante nos dedicaremos a estudiar los llamados conceptos topológicos, los cuales se basan en la noción de conjunto abierto. Siempre que se hable de conjunto o espacio, supondremos que es diferente del vacío, a menos que se especifique los contrario.

Un conjunto A en un espacio métrico M, se dice conjunto abierto, si para cualquier punto a del mismo, podemos hallar una bola abierta B( a, r), la cual está contenida en A.

En todo espacio métrico siempre encontramos dos conjuntos abiertos, que son de poco interés y por lo tanto los llamamos los abiertos triviales, que son el vacío, denotado por   Æ y el mismo espacio M .

Toda bola abierta es un conjunto abierto. Para demostrar este hecho, supóngase que se tiene una bola con centro en a y radio r, B (a, r). Si b es un punto dentro de esta bola, probaremos que existe un radio s, tal que la bola con centro en b y radio s está dentro de B ( a, r ). En otras palabras

B( b , s ) Í B ( a, r ) , para algún s > 0.     (1)

El diagrama de abajo ilustra este hecho ( el punto a es de color negro y b es de color amarillo).

Basta tomar s < r - d( a, b) , para garantizar la condición (1).

En efecto, si x  B (b, s) , entonces d ( b, x ) < s .Luego se tiene

d( x, a )  ≤ d ( x, b) + d( a, b) <  (r - d( a, b)) + d( a, b) = r.

Por lo tanto, el punto x está en la bola abierta con centro en a y radio r y  por lo tanto se tiene la condición (1).

En los números reales todo intervalo abierto ( finito o infinito)  ( a, b), ( a, ∞)  o bien ( - ∞, b ) es un conjunto abierto. El conjunto formado por un solo elemento {a }, no es abierto ¿ Por qué?

Si {U _i } es una familia de conjuntos abiertos, entonces entonces la unión de todos ellos es un conjunto abierto. Esto es fácil de demostrar, pues si a es cualquier punto de la unión, a debe estar en al menos un conjunto U _j, y por ser U _j abierto, debe contener una pequeña bola con centro en a y radio r, para algún r >0, digamos:

B( a , r ) Í  U _j Í îþUi, para algún j > 0.    

Si U ₁, ..., U _n son conjuntos abiertos, entonces la intersección de ellos es también un conjunto abierto. Es importante apuntar aquí, que la intersección de cualquier familia infinita de abiertos, no es necesariamente abierto. Por ejemplo los conjuntos U _i = ( -1/i , 1/ i) ( i > 1) son abiertos en el espacio métrico R, pero la intersección de todos ellos no es abierto en R, como veremos mas adelante.

Todo conjunto abierto A se puede "llenar " con bolas abiertas del tipo B ( x, r) con x en A. ¿ Podrías demostrar esto? Observa la animación

En un espacio métrico ( M, d), un conjunto F se dice cerrado, si su complemento M \ F es un conjunto abierto.

Ejemplos de conjuntos cerrados hay muchos

1. En el espacio ℝ de los números reales, todo intervalo cerrado [ a, b] es un conjunto cerrado, pues su complementario es la unión de dos conjuntos abiertos ( - ∞ , a) U ( b, ∞) , el cual es un conjunto abierto.

2. También el conjunto firmado por un solo punto  {a }es cerrado.

3. En general, en cualquier espacio métrico  , las bolas cerradas son conjuntos cerrados.

4. Si F y H son cerrados en M entonces la unión  F U H es cerrado. Esto es consecuencia de la leyes de de Morgan , pues el complementario de F U H , M \ (F ∪ H )es precisamente la intersección  de M \ F y M \H , los cuales son abiertos. Pero como la intersección  de dios abiertos es un abierto, entonces  F ∪ H es cerrado por definición.

5. Si F y H son cerrados entonces la intersección F ∩ H es cerrado.

! Advertencia

1) Los conceptos de abierto y cerrado son relativos; ellos  dependen del espacio métrico base y de la métrica. Por ejemplo si A = [ 0, 2] se considera como un espacio métrico con la métrica inducida por R, entonces A es un abierto. También [ 0, 1 ) es abierto, pues es la intersección de la bola B ( 0, 1) con A.

2) Para otra definición de conjunto cerrado, usando sucesiones, puedes ir al capítulo 4.

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