Energía Potencial Eléctrica

Ya en el estudio del dipolo eléctrico hicimos referencia a la energía potencial eléctrica, siguiendo nuestra noción de energiía potencial y su relación con el trabajo realizado para rotar el dipolo en contra del campo eléctrico externo. Aunque no lo comentamos anteriormente, si el trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula que se desplaza de una posición inicial a otra final no depende de la trayectoria, entonces la fuerza es conservativa, como es el caso de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional. Cuando las fuerzas son conservativas, éstas se pueden expresar a través de una función de energía potencial. Podemos asociar una energía potencial a un sistema de tal forma que si colocamos una partícula cargada, ésta experimenta una fuerza eléctrica. Así, la variación de energía potencial eléctrica cuando desplazamos a una carga $q$ en presencia de un campo eléctrico externo $\vec E$ es

$$U_b-U_a=-q\int^b_a \vec E\circ d\vec r,$$ (13)

donde la integral es independiente de la trayectoria entre los puntos $a$ y $b$ porque la fuerza eléctrica es conservativa.

Ahora nos planteamos la siguiente pregunta: ¿Dónde reside la energía que un agente externo invierte cuando acerca (o aleja) dos cargas eléctricas? Observemos que:

1. Cargas de signos opuestos: Si dejamos una fija ($q_1$) y alejamos la otra ($q_2$), digamos hacia la derecha, se realiza un trabajo negativo, resultando un incremento en la energía potencial. Si liberamos la carga desde la separación mayor, debido a la atracción se acerca a la otra, disminuyendo la energía potencial y aumentando la energía cinética.
2. Cargas de signos iguales: Si desplazamos ahora la carga hacia la izquierda se produce un aumento de la energía potencial. Al liberarla, la separación aumenta, decreciendo de nuevo la anergía potencial y aumentando la energía cinética.

Independientemente del signo de las cargas

$$U_b-U_a=-q_2\int^b_a E_1 dr=-\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\... ...q_2}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right),$$ (14)

Si $U_b=0$ cuando $r_b\rightarrow\infty$

$$U(r)=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}.$$ (15)

Esta es la energía potencial eléctrica para un sistema conformado por dos cargas puntuales.

Para profundizar el concepto, supongamos que tres cargas puntuales se encuentran en el infinito:

• Traemos la carga $q_1$, ¿cuál es la energía potencial? Respuesta:
  
  $$U=0$$
  
  
  .
• Traemos la carga $q_2$ y hacemos la misma pregunta, respuesta:
  
  $$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}}$$
  
  

• Traemos la carga $q_3$, respuesta:
  
  $$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\right)$$
  
  
  .

¿Nos estamos entendiendo? Este resultado es independiente del orden en que reunimos las cargas. La energía que invierte un agente externo para reunir las tres cargas se almacena en el campo eléctrico. Uhmmm, ¿Y por qué...?

Para un sistema de $N$ cargas puntuales tenemos

$$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}}+\frac... ...{q_2 q_3}{r_{23}}+ ...+\frac{q_{N-1}q_{N}}{r_{N-1 N}}\right).$$ (16)

Esto es una suma algebraica de escalares. Observe que $U$ es una propiedad del sistema y no de cargas individuales.

La energía potencial de un sistema de cargas fijas es igual al trabajo que debe realizar un agente externo para reunir el sistema, desplazando cada carga una distancia infinita.